2020-2021学年第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数课文课件ppt

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数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Pwer”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子.此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了.那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？
1.一般地形如______________的函数叫做幂函数．
[知识点拨]　幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．
(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：
(－∞，0)∪(0，＋∞)
命题方向一 幂函数的概念
[规律总结]　1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．2．利用幂函数的定义，抓住其本质特征，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
命题方向二 幂函数的图象
[解析]　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，∴n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，∴p>1,01时，指数越大，图象越高，∴m>q，综上所述n命题方向三 幂函数的简单性质
命题方向四 幂函数单调性的应用
[思路分析]　(1)当给定的两个幂的幂指数相同时，如何比较它们的大小？(2)如果两个幂的底数和指数都不同，那么如何比较它们的大小？
[规律总结]　1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
2．给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
[错因分析]　该解法中将函数值大小转化为自己变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才能在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[规律总结]　解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
[答案]　A[解析]　∵y＝xα为奇函数，则α＝－1,1,3，又∵x∈R，∴α＝1,3.