高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念教案，共6页。

1．知识与技能
（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法.
（2）会求简单函数的定义域和函数值.
2．过程与方法
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.
3．情感、态度与价值观
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.
（二）教学重点与难点
重点：掌握函数定义域的题型及求法.
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
（三）教学方法
启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力.
（四）教学过程
备选例题
例1 求下列函数的定义域
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤}；
当a = 0时，ax – 3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2 （1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x2 – 2)的定义域.
【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f (x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x2)的定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x2 – 2)有意义，须使–1≤2x2 – 2≤4，
∴≤x≤或≤x≤.
函数f (2x2 – 2)的定义域为{x |–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾
范例分析
强化概念
1．回顾函数的定义.
2．示例剖析
例1 已知函数f (x) =+ .
（1）求函数的定义域；
（2）求f (–3)，的值；
（3）当a＞0时，求f (a)，f (a – 1)的值.
例2 下列函数中哪个与函数y = x相等？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．函数定义的理解.
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
3．区间的概念：
（1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示；
（2）不等式a＜x＜b，用开区间(a, b)表示；
（3）不等式a≤x＜b (或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示；
（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a, +∞)，(–∞, b]，(–∞, b).
1．老师引导学生分析例1函数解析式的结构特征. 结合函数的定义，感知函数定义域即使解析式有意义的自变量的取值范围.
2．分析例2的题型特点，结合函数的定义，阐明确定函数的因素为定义域和对应法则，并了解值域由这二要素决定.
例1解：使根式有意义的实数x的集合是{x | x≥–3}，使分式有意义的实数x的集合是{x | x≠–2}. 所以，这个函数的定义域就是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2}
={x|x≥–3，且x≠–2}.
(2)= –1；
=+=
=.
（3）因为a＞0，所以f (a)，f (a – 1)有意义.
；
f (a–1) =+
=+.
例2解：（1）= x (x≥0)，这个函数与函数y = x (x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x (x∈R)不相等.
（2）(x∈R)，这个函数与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)相等.
（3）= 这个函数与函数y = x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与函数y = x(x∈R)不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等.
（4）的定义域是{x | x≠0}，与函数y = x (x∈R)的对应关系相同但定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等.
从回顾概念入手，引入求定义域的思考方法及求定义域的基本原则.
应用举例
训练题1：求下列函数的定义域.
（1）；
（2）；
（3）.
小结：从上例可以看出，求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域，常有以下几种情况：
1．函数的定义域即使函数解析式有意义的实数集.
2．已知函数y = f (x)
（1）若f (x)为整式，则定义域为R.
（2）若f (x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；
（3）若f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）若f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
训练题2：（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)].
（2）①已知f (x) = x2 + 1，则f (3x + 2) = ；
②已知f (x) = 2x3 – 1，则f (–x) = .
（3）已知函数
f (x) =，
则f {f [f (–1)]} = .
（4）在函数
f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（ ）
A．1 B．1或
C．± D．
学生合作交流完成训练题1并说明解法原理.
老师点评学生的解法及总结、题型.
师生合作小结求定义域的方法及求解步骤.
训练题1解：（1）x – 2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x | x≠2}.
（2）3x + 2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y =的定义域是，+∞).
（3），∴这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩{x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞).
注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间.
学生自主完成训练题2，体会求函数值与对应法则之间的关系.
训练题2解：（1）f (1) = 2×1+3=5.
f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.
f (m + n) = 2×(m + n) + 3
= 2 (m+n) + 3.
f [f (x)] = 2×f (x) + 3
= 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.
（2）①9x2 + 12x + 5；②–2x3–1.
（3）；（4）D.
固化定义域的求法及求解原理.
强化函数值的基本求法、加深对函数三要素含义的理解.
归纳总结
1．求函数定义域的原理：使函数解析式有意义的自变量取值范围.
2．求函数值的方法：代入法.
师生合作归纳小结
训练归纳概括能力
课后作业
1.2 第二课时习案
学生独立完成
固化技能