高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质试讲课课件ppt

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质试讲课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，情境导入，知识梳理，最小正周期，答案BCD等内容，欢迎下载使用。

1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象)2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算)3.掌握正弦函数、余弦函数的值域与最值,并能够求简单函数的值域与最值.(数学运算)
观察钱塘江潮的图片,我们看到:波浪每间隔一段时间会重复出现,这种现象被称为周期现象.在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变化的现象.我们能不能用数学方法来探究周期现象中所蕴涵的规律呢?这一节我们就通过正、余弦函数的周期性研究正、余弦函数的性质.
知识点一:函数的周期性1.周期函数
x±T必须在定义域内
名师点析 1.只有自变量x本身加的常数才是最小正周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是最小正周期,因为f(2x+T)=f[2(x+ ]]=f(2x),所以 才是最小正周期.2.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.
微判断(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).(　　)(2)所有的函数都有最小正周期.(　　)
答案 (1)×　(2)×　(3)×
微练习若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=　　　　. 答案 6解析 由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6
知识点二:正弦函数、余弦函数的最值与值域
微练习(1)函数y=2sin x在区间[0, ]上的最大值是　　　　,最小值是　　　　. (2)函数y=2cs 2x在x=　　　　时,取得最大值2,在x=　　　　　时取得最小值-2. 
答案 (1)2　0(2)kπ(k∈Z)　kπ+ (k∈Z)
例1求下列三角函数的周期:(1)y=3sin x,x∈R;(2)y=cs 2x,x∈R;
解 (1)3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2π.(2)cs 2(x+π)=cs(2x+2π)=cs 2x,由周期函数的定义知,y=cs 2x的周期为π.
(4)函数y=|cs x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cs x|的周期为π.
反思感悟 求函数周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)定义法,由f(x±T)=f(x),求得周期为T;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到周期.
变式训练1求函数y=cs|x|的最小正周期.解 因为cs(-x)=cs x,所以y=cs|x|=cs x,从而函数y=cs|x|与y=cs x的图象一样,因此周期相同,为2π.
1.正、余弦函数的最值的理解 例2求函数y=4-cs 3x取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.分析根据cs 3x的取值范围,结合不等式的性质求出4-cs 3x的范围确定函数的最值以及相应的自变量的值.
解 ∵-1≤cs 3x≤1,∴-1≤-cs 3x≤1.∴3≤4-cs 3x≤5.∴当cs 3x=-1时,3x=2kπ+π,
反思感悟 形如y=asin x+b(或y=acs x+b)的函数的最值或值域问题,利用正弦、余弦函数的取值范围(-1≤sin x≤1,-1≤cs x≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑三角函数的周期性.
2.可化为f(sin x)或g(cs x)型的函数求值域(或最大(小)值)例3求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cs2x+2sin x-2;
反思感悟 形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R值域的求法求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最大(小)值,求解过程中要注意正弦函数的取值范围.
分析由于本题是一个分式型函数,分子分母均含有sin x,因此可以将分子中的sin x分离后结合sin x的取值范围及不等式的性质求解,也可以用y表示sin x后结合取值范围列不等式求解.
变式训练2(1)求函数y=3-2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值;(2)求函数y=2sin2x+2cs x-3的值域;
利用周期函数的定义求解三角函数的周期
若函数y=f(x)不是或不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(Aω≠0)的形式,研究函数的周期常利用定义法,即判断f(x±T)=f(x)是否成立.典例(多选题)已知函数f(x)=tan x-sin xcs x,则函数f(x)的周期为(　　)
又f(x+π)=tan(x+π)-sin(x+π)cs(x+π)=tan x-(-sin x)(-cs x)=tan x-sin xcs x=f(x),因此函数满足f(x+π)=f(x),即π是函数的一个周期,根据周期的性质可知2π、3π均是函数的周期,因此选BCD.
1.(多选题)函数f(x)=|sin x|+|cs x|的周期为(　　)
2.函数y=3-sin ax(a≠0,x∈R)的值域是(　　)A.[-3,3]B.[2,4]C.[-4,3]D.与a的取值有关答案 B解析 因为a≠0,所以-1≤-sin ax≤1,2≤3-sin ax≤4,因此函数的值域为[2,4].
3.使函数y=sin 2x,x∈R取得最大值的x的集合是　　　　　　　　　.