高中数学湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体优秀ppt课件

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1.能够根据所给具体数据,作出频率分布表,画频率分布直方图.(数据分析)2.能够利用频率分布直方图估计总体分布的数字特征.(数据分析、数学运算)
如图是500名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图,若规定60分为及格线,则如何求解数学成绩在60分以上的人数?若求这500名学生分数的众数,又如何求解呢?
知识点:频率分布直方图作频数和频率分布直方图的步骤(1)找出最值,计算极差.(2)确定组距和组数.
(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)根据整理后的数据,可以作出频率分布直方图.
要点笔记样本的频率分布直方图与总体的关系(1)随机抽样得到的样本的频率分布直方图是总体分布的近似.(2)由抽样的随机性可以想到,如果随机抽取另一个样本,所形成的样本频率分布直方图会与前一个样本的频率分布直方图有所不同.
微练习一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为(　　)A.10组　　　　B.9组C.8组 D.7组
解析 根据列频率分布表的步骤, =8.9,所以分为9组较为恰当.
例1某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下:
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
(2)为了选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
解 (1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,第3组的频率为 =0.30,故①处填35,②处填0.30.频率分布直方图如图所示.
反思感悟 绘制频率分布直方图应注意的问题
变式训练1为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示:
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据?(2)补全如图所示的频率分布直方图.
解 (1)设年龄在[25,30)岁的频数为x,年龄在[30,35)岁的频率为y.
解得x=20,y=0.35,故①处应填20,②处应填0.35.(方法2)由题意得5+x+35+30+10=100,0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,解得x=20,y=0.35,故①处填20,②处填0.35.
补全频率分布直方图如图所示.
1.求频率分布直方图纵坐标中的参数例2某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图,但由于不慎丢失了部分数据.已知得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,由此推测频率分布直方图中的x=(　　)
解析 得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,所以 ,解得y=0.004.由频率分布直方图的性质可知(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,解得x=0.03.故选B.
要点笔记由于频率分布直方图中的纵坐标为 ,因此涉及纵坐标中含参数问题,应根据频率之和为1列式求解.
2.根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率(数)例3在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是(　　)
A.210B.205C.200D.195
分析由频率分布直方图先求出在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率,由此能求出在该次测验中成绩不低于100分的学生人数.
答案 C解析 由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C.
要点笔记根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数要用频率乘以样本容量.
3.根据频率分布直方图求众数、中位数例4对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图如图,则估计此样本的众数、中位数分别为(　　),2.5,2.02C.2,2.5 D.2.5,2.25
解析 众数是指样本中出现频率最高的数,在频率分布直方图中通常取频率最大的组区间的组中值,所以众数为 =2.25,中位数是频率为0.5的分界点,由频率分布直方图可知前4组的频率和为(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位数出现在第5组,设中位数为x,则(x-2)×0.5=0.01,则x=2.02,故选B.
反思感悟 1.众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的底边中点的横坐标.2.中位数:中位数在频率分布直方图左右两边直方图的面积应相等,也就是累积频率为0.5时对应的样本数据,求解时常借助比例法求解.
变式训练2某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1 120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内,现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.频率分布直方图中a的值为0.040B.样本数据低于130分的频率为0.3C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数相等
解析 由频率分布直方图得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A错误;样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B错误;[80,120)的频率为(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的频率为0.030×10=0.3,故总体的中位数(保留1位小数)估计为120+ ×10≈123.3(分),故C正确;样本分布在[90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数相等,总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布在[100,110)的频数相等,故D错误.故选C.
4.根据频率分布直方图求方差例5从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表).
解 质量指标值的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
利用样本的数字特征进行决策
典例(2021甘肃天水一中高三模拟)某种治疗肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好、为了提高产品质量,我国医疗科研专家攻坚克难,新研发出A,B两种新配方,在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本,测量这些产品的质量指标值,规定指标值小于85时为废品,指标值在[85,115)内为一等品,大于115为特等品.现把测量数据整理如下,其中B配方废品有6件.A配方的频数分布表
B配方的频率分布直方图
(1)求a,b的值;(2)试确定A配方和B配方哪一种好?(说明:在统计方法中,同一组数据常用该组区间的组中值作为代表)
解 (1)依题意,A,B配方样本容量相同,设为n,又B配方废品有6件,由B配方的频率分布直方图,得废品的频率为 =0.006×10,解得n=100,∴a=100- (8+36+24+8)=24.由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1,解得b=0.026,因此a,b的值分别为24,0.026.(2)由(1)及A配方的频数分布表得,A配方质量指标值的样本平均数为
方法点睛平均数与方差是样本的重要的数字特征,在决策问题中起重要作用,一般地,在决策问题中先求平均数,再求方差,若平均数不相同,则从平均数的角度进行决策.若平均数相同,方差不同,则方差(或标准差)越大,数据的离散程度越大;方差(标准差)越小,数据的离散程度越小.
1.某地一种植物一年生长的高度如下表:
则该植物一年生长在[30,40)内的频率是(　　)
答案 C解析 由频率含义可计算其结果.由频率的定义得80÷(20+30+80+40+30)=0.40.
2.(多选题)下列说法正确的是(　　)A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大D.频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数
3.(2020甘肃武威十八中高二期末)某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10 000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组:[10,20),[20,30),…,[50,60],并整理得到如图频率分布直方图.其中a的值为(　　)
答案 B解析 由频率分布直方图知10×(a+0.005+0.01+0.02+0.03)=1,解得a=0.035,故选B.
4.为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17~18岁的高三男生体重(单位:kg),得到频率分布直方图如图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是(　　)A.40B.400C.4 000D.4 400
答案 C解析 依题意得,该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是10 000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4 000.
5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则汽车时速的众数是　　　　. 
答案 65解析 由于最高矩形的底边中点的横坐标是65,因此众数是65.
6.如表所示给出了在某校500名12岁男孩中,用随机抽样方法得出的120人的身高(单位:cm).
(1)列出样本频率分布表;(2)画出频率分布直方图.
解 (1)样本频率分布表如下: