湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数优秀ppt课件

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1.通过对有理指数幂 (a>0,m,n∈N且n≥2)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)2.通过对实数指数幂au(a>0,且u∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)3.掌握指数幂的运算性质.(数学运算)
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t的关系式为S=S0·1.057t,其中S0为侵害田地面积的初始值.如果求10年后侵害田地的面积,那么S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害田地的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?
知识点一:根式1.n次方根的定义若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是 a的n次方根.2.n次方根的性质
名师点析 1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
提示 不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.
知识点二:分数指数幂当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定
(3)0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂.那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(b>0).
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.3.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意有理数α,aα都是一个确定的实数.这就把整数指数幂推广为有理指数幂了.
微点拨给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得
知识点三:有理数指数幂的基本不等式
名师点析 有理数指数幂的基本不等式为我们提供了比较大小的另一种方法:作商法,即当a>0,b>0时,
微练习比较大小(填“>”或“<”)(1)2.32.1>1;(2)<1;(3)2.3-0.21<1;(4)0.49-1.7>1;(5)2.3-0.59<2.3-0.51;(6)>
知识点四:实数指数幂在幂的表达式au(a>0)中,a叫作底数,u叫作指数.可以证明,有理数指数幂的前述运算规律,对实数指数幂仍然成立.类似地,仍有一般的幂运算基本不等式:对任意的正数u和正数a,若a>1则au>1;若a<1则au<1.对任意的负数u和正数a,若a>1则au<1;若a<1则au>1.
要点笔记实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用性质:(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);
例1(1)27的立方根是　　　　;16的4次方根是　　　. (2)已知x6=2 021,则x=　　　. 
要点笔记根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.
变式训练1已知a∈R,n∈N+,给出下列4个式子:
A.1个B.2个C.3个D.0个答案 A
例2求下列各式的值:
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?(2)该例中的(2),若x>3呢?
解 由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.
反思感悟 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.3.规定了无理数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就扩展到了全体实数,指数幂的运算性质也就扩展到了全体实数.
变式训练2计算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);
例4(1)比较大小(填“>”或“<”):
(2)已知a>1,β<0,∀α∈R,试比较aα+2β-aα+β与aα+β-aα的大小.
(1)答案 ①>　②<　③<　④>　⑤<　⑥<
要点笔记1.熟练记忆并能应用指数幂基本不等式;2.作商法的应用——注意适用条件:a>0,b>0.
反思感悟 解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
方法点睛1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决.2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.
变式训练对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,w,若
2.下列各式正确的是(　　)
4.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为(　　)A.15B.17C.35D.37