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高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用完美版课件ppt
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用完美版课件ppt，共48页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，情境导入，知识梳理，答案B，求a和m的值，答案C，答案D，答案1024等内容，欢迎下载使用。
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)2.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.(数学抽象)
兔子是一种可爱的动物,尤其受小朋友的喜爱.但是这么可爱的兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带了几只兔子来到澳大利亚,由于澳大利亚有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量呈对数增长.
知识点一:常见的函数模型
微练习某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?
解 设该市年人口自然增长率为x,依题意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)≤lg 1.2,即lg(1+x)≤ lg 1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%.
知识点二:拟合函数模型数学建模的步骤:(1)正确理解并简化实际问题;(2)建立数学模型;(3)求得数学问题的解;(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性.
微练习某商场在空调销售旺季的4天内的利润如下表所示:
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )A.y=lg2x B.y=2xC.y=x2 D.y=2x
例1一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?
分析可建立指数函数模型求解.
反思感悟 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型.
变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
解 (1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x,其定义域为{x∈N+|x≤10}.
例2科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
反思感悟 1.基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与lg3 成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?
解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.
(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,由题意知v2-v1=1,
例3为了估计山上积雪融化对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
(1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
解 (1)数据点分布如图1所示.
(2)从图1中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图2,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
反思感悟 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
变式训练3(2021广东东莞高一期末)某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.
解 (1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.
(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为直线x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].
化学中的对数型函数问题
典例 溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)国家标准规定,饮用纯净水的pH范围应该在[5,7].食品监督部门检测到某品牌纯净水中[H+]=10-7摩尔/升,问该品牌纯净水是否符合国家标准?
解 (1)设[H+]为x,pH为y.因为对数函数 y=lg x 在(0,+∞)上是增函数,所以y=-lg x在(0,+∞)上是减函数.故当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的pH减小;当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的pH增加.(2)当x=10-7时,y=-lg(10-7)=7∈[5,7].故当[H+]=10-7摩尔/升时,该品牌纯净水符合国家标准.
变式训练在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位ml/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位ml/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )A.分段函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数
答案 A解析 由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
2.(2021江苏南京期末)有一组实验数据如表所示:
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
解析 (方法1)从图表数据可知,随着t的变大,v变大,则函数单调递增,且增加速度越来越快.∵A选项为线性增加的函数,C选项为递减函数,D选项为比线性增加较为缓慢的函数,∴排除选项A,C,D.故选B.(方法2)取t=4,对于A选项,v=2×4-2=6,故选项A错误;对于C选项,v=lg0.5t=-2,故选项C错误;对于D选项,v=lg3t=lg34,故选项D错误;
3.(2021河北张家口高一期中)某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是( )
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位:千件)与月份的关系.请问用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)2.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.(数学抽象)
兔子是一种可爱的动物,尤其受小朋友的喜爱.但是这么可爱的兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带了几只兔子来到澳大利亚,由于澳大利亚有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量呈对数增长.
知识点一:常见的函数模型
微练习某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?
解 设该市年人口自然增长率为x,依题意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)≤lg 1.2,即lg(1+x)≤ lg 1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%.
知识点二:拟合函数模型数学建模的步骤:(1)正确理解并简化实际问题;(2)建立数学模型;(3)求得数学问题的解;(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性.
微练习某商场在空调销售旺季的4天内的利润如下表所示:
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )A.y=lg2x B.y=2xC.y=x2 D.y=2x
例1一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?
分析可建立指数函数模型求解.
反思感悟 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型.
变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
解 (1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x,其定义域为{x∈N+|x≤10}.
例2科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
反思感悟 1.基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
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解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.
(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,由题意知v2-v1=1,
例3为了估计山上积雪融化对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
(1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
解 (1)数据点分布如图1所示.
(2)从图1中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图2,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
反思感悟 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
变式训练3(2021广东东莞高一期末)某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.
解 (1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.
(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为直线x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].
化学中的对数型函数问题
典例 溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)国家标准规定,饮用纯净水的pH范围应该在[5,7].食品监督部门检测到某品牌纯净水中[H+]=10-7摩尔/升,问该品牌纯净水是否符合国家标准?
解 (1)设[H+]为x,pH为y.因为对数函数 y=lg x 在(0,+∞)上是增函数,所以y=-lg x在(0,+∞)上是减函数.故当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的pH减小;当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的pH增加.(2)当x=10-7时,y=-lg(10-7)=7∈[5,7].故当[H+]=10-7摩尔/升时,该品牌纯净水符合国家标准.
变式训练在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位ml/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位ml/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )A.分段函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数
答案 A解析 由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
2.(2021江苏南京期末)有一组实验数据如表所示:
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
解析 (方法1)从图表数据可知,随着t的变大,v变大,则函数单调递增,且增加速度越来越快.∵A选项为线性增加的函数,C选项为递减函数,D选项为比线性增加较为缓慢的函数,∴排除选项A,C,D.故选B.(方法2)取t=4,对于A选项,v=2×4-2=6,故选项A错误;对于C选项,v=lg0.5t=-2,故选项C错误;对于D选项,v=lg3t=lg34,故选项D错误;
3.(2021河北张家口高一期中)某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是( )
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位:千件)与月份的关系.请问用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
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