人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值教学设计

单调性与最大（小）值

一、              内容与解析

（一）   内容：单调性与最大（小）值。

（二）   解析：函数的单调性与最大（小）值是函数的重要性质，是每年高考的必考内容，例如判断或证明函数的单调性、求单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式.这类问题一般难度中等偏上，题型一般为解答题也可为填空、选择题.

二、              目标及其解析：

（一）   教学目标

（1）       理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（二）   解析

（1）函数单调性的含义

正确理解单调性定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.概括来说，所谓“增”即是随着的增大而增大，所谓“减”即是随着的增大而减小.

（2）函数的单调性是函数的“局部”概念

函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.函数可以在整个定义域上单调，如：在上单调递增.函数也可以在定义域的某个区间单调递增，在某个区间单调递减，如：在单增，在上单调递减.

（3）单调性的证明与判断 证明的依据的定义，有着严格的要求与步骤。

三、              问题诊断分析

函数的单调性，是函数的重要性质之一，并且在学习的过程中能深刻体会到数学推理的重要性与意义，作为初学者，最关键的是要根据定义严格的按步骤来，学生最容易出现的问题的无意中运用了函数单调性定义本身去证明。

四、              教学支持条件分析

在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。

五、              教学过程

（一）研探新知：

（1）增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x  (x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？  当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

y＝x的单调区间怎样？

③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。

(2)增函数、减函数的证明：

①出示例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、f(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。

（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）

②出示例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

    （学生口答→ 演练证明）

③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

  判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x； →计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。

(3)函数最大（小）值：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

， ；， 

② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）

③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

   → 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.

设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会证明的一般方法。

（二）类型题探究

题型一 求函数的单调区间

例1 求函数的单调区间.

【思维导图】

【解答关键】去掉绝对值号，化为分段函数，并画出函数的图象，借助图象可以直观地判断出函数的单调区间.

【规范解答】，

其图象如右图所示：

由函数的图象可知，函数的单调增区间是

，；单调减区间是，.

【技巧感悟】本题中所给出的函数式中含有绝对值，可以采用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性.

【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成，注意不能写成下列形式：

，或

【思想方法】数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想，可以利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后画出图象，最后根据函数的定义域与图象的位置、状态确定函数的单调区间.另外，研究函数的单调性的方法还有定义法以及利用已知函数的单调性进行判断.

【活学活用】1.（1） (广东执信中学09-10高一上学期期末)函数和的递增区间依次是  （     ）

 A．， B．， 

C．，    D． ，

(2)写出函数的单调区间.

1．（1）C

解析如图

 (2)解析：先作出函数的图象，由于

绝对值的作用，把轴下方的图象沿轴对折到轴的上方，所

得函数的图像如右图所示：

由函数的图象可知，函数在、上是减函数，

在、上是增函数．

题型二  判断并证明函数的单调性

例2证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增.

【思维导图】

【解答关键】用定义法证明函数的单调性，主要是四个步骤，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的乘积的形式.

证明：任取且，于是，

.

由于且，所以 ，，

则，，故，即，

故，由减函数定义，得在区间单调递减.

同理可证：在区间上单调递增.

【知识归纳】函数在区间上是减函数，在上是增函数.这一结论在求此类函数的值域或最值时非常方便，但解答题需要先证明结论后才能用.

【技巧感悟】在“作差变形”的过程中，为了确定符号，一般是分解出含有的因式，再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，化为几个因式的积、商，或化为几个非负实数的和的形式，然后判断符号.

【误区警示】用定义证明函数的单调性时要注意详细写出解题步骤，如果省略必要的步骤，将会导致错误.另外，有的同学没有化简彻底，就开始判断符号，这也是容易出错的.“题要一步一步地解”，在数学证明题中显得尤为重要.

【活学活用】2.（2009湖北黄冈中学高一测试）下列函数中，在上为减函数的是（    ）

 A. B. C. D.

2．D  解析：注意到函数是一个以为顶点的开口向下的抛物线，

是一个以为顶点，开口向上的抛物线，它们在上都不是单调减函数，而的图象是出现在第二和第四象限的两支曲线，在上单调递增，所以正确选项是D．

题型三  单调性的应用

例3 已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【思维导图】

【解答关键】先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解.

【规范解答】，故此二次函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，又因为在上是减函数，所以对称轴必须在直线的右侧或与其重合.故，解得.

【技巧感悟】函数在是为单调递增(递减)函数与函数的单调递增(递减)区间为有着本质差异.可理解如下：

(1) 函数在是为单调递增(递减)函数，说明除此区间之外，在其它区间上也可能单调递增(递减)函数.

(2) 函数的单调递增(递减)区间为，说明函数除此区间外，在其它区间上不再有单调递增(递减)区间.

【活学活用】3.(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为         ；

（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为         .

3.解析：（1）由二次函数的图象可知，该二次函数的对称轴是，即，即．

（2）由题意可知，二次函数的对称轴是，若在上是增函数，则需满足，即． 

 (三）小结：

六、              目标检测

目标检测一

一、选择题

1．若函数是上的减函数，那么         (    )

A．    B．    C．    D．无法确定

1． B   解析：因为函数是上的减函数，所以对任意，应有，即，又，所以．

2．下列函数中，在区间上为增函数的是(    )

A．    B．    C．    D．

2．D   解析：画出图象可得，在区间上，，，都是递减函数．

3．.(河南宝丰一高2009-2010月考)定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有 成立，则必有   （   ）

A．函数是先增加后减少             B．函数是先减少后增加

C．在上是增函数                 D．在上是减函数

3．C  解析：由于，所以，得当时，；同理当时，.故在上是增函数．

4．(河南新乡2009-2010学年高一上学期期末)已知二次函数在区间上单调函数，则实数的取值范围为（  ）

 A．或         B．

 C．或      D．

4． A    解析：的对称轴，若在区间上是增函数，则；若在区间上是减函数，则．

5．.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是(    )

A．     B．     C．     D．

5．A    解析：数形结合与的对称轴，则，得，

．

二、填空题

6.定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的集合        .

6.  解析：通过函数单调性的可逆转化为自变量的关系

   即　

7． 的单调区间是           此时单调性为             .

7.，增．解析：函数的单调区间求出后，再判断其增减性，是求解单调性问题的常用方法．函数的定义域为，易判断在定义域为恒增．证明如下：取，,容易判断符号，得到，故为增函数．

三、解答题

8．已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．

8．解析：∵时，，∴函数是减函数，

    ∴由得：，解得，

    ∴的取值范围是．

9．判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

9．证明：函数是增函数.证明如下：

    设，则

，

因为，所以，， 则，

即，故函数是增函数．

高考能力演练

10．（2009福建理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是(    )

A．=       B．=     C．     D．

10． A    解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确.

目标检测二

  一、选择题

1. 关于函数y=的单调性的表述正确的是(    )

A.在（－∞，0）上增加，在（0，+∞）上减少   

B.在（－∞，0）∪（0，+∞）上减少

C.在［0，+∞）上减少                   

D.在（－∞，0）和（0，+∞）上都减少

1. D  解析：对于反比例函数y=（k≠0），当k＞0时 ，在区间上是单调递减函数，在区间上也是单调递减函数，这种函数的单调区间只能分开写；当k＜0时, 在区间上是单调递增函数，在区间上也是单调递增函数.

2. 已知函数定义在上，且有，则下列判断正确的是                                                        (     )

A.必为上的单调增函数

B.不是上的单调增函数

C.必为上的单调减函数

D.不是上的单调减函数

2. B 解析： 根据增函数的定义知选B.

3. 函数，在[2，+∞）上是增函数，在（-∞，2]上是减函数，则

A．     B． 

C．     D． 

3. A 解析：由二次函数图象的特性及单调性可知.

4.函数在其定义域上是增函数，且，那么在上为减函数是 (   )

A．  B．  C．  D．

4. C解析：取很容易可以判断在定义域内为减函数.

二、填空题

5. 函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，则y＝f(|x＋2|)的单调减区间是______．

5. ［－2，＋∞) 解析：∵y＝f(u)在R上递减；u＝|x＋2|在［－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2］上递减∴y＝f(|x＋2|)在［－2，＋∞)上递减

6. 函数，在[-2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2]上是减函数，则————————

6. 2 解析：由抛物线呈轴对称可知，.

7.若函数在区间（-2，3）上是增函数，则函数的递减区间为_________

    7.（-2，3）解析：设t=x+5其在R上增函数，则在区间（-2，3）上是增函数,即x+5（-2，3）

三、解答题

8. 讨论函数的单调性．

8.设，则：

，，．

∴当时，，在(-1，1)上是增函数．

当时，，在(-1，1)上是减函数．

当时，为常数函数，没有单调性．

9. 函数在上是增函数，求的取值范围．

9. ∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得，即，

∵，∴      ，

∵，∴要使恒成立，只要；

又∵函数在上是增函数，∴，

即，综上的取值范围为．

高考能力演练

10.作出函数f（x）=+的图象，并指出函数f（x）的单调区间.

10.由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间.

原函数可化为

f（x）=+=|x+1|+|x－1|=

作出函数的图象：

所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）.

11.已知点p(t,y)在函数的图象上，且有

   （1）求证：；  

（2）求证：在（－1，+∞）上单调递增；

   （3）求证：

11.（1），

   （2）由

 设，则

 时，单调递增.

   （3）在时单调递增，