高中人教版新课标A1.3.1单调性与最大(小)值教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出问题

1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0).

从而xR. 都有f (x) ≥f (0).

因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.

2．函数f (x) = –x2同理可知xR. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，

f (0)是函数值中的最大值.

师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；

师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.

应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.

形成概念

函数最大值概念：

一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：

（1）对于任意x都有f (x) ≤M.

（2）存在x0I，使得f (x0) = M.

那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.

师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即

f (x0)≤ f (x)意味着什么？

生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：

①x0定义域；

②f (x0) 值域；

③f (x0)是整个定义域上函数值最大的.

由实例共性抽象获得最大值概念.

形成概念

函数最小值概念.

一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：

（1）对于任意xI，都有f (x)≥M.

（2）存在x0I，使得f (x0) = M.

那么，称M是函数y = f (x)的最小值.

师：怎样理解最大值.

生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.

师：函数最小值怎样定义？

师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.

由最大值定义类比最小值定义.

应用举例

例1  “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

训练题1：

已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.

例2 已知函数y =(x[2，6])，求函数的最大值和最小值.

训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个     .

训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固    定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.

例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：

当t ==1.5时，函数有最大值

h =≈29.

于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.

师：投影训练题1、2.

生：学生相互讨论合作交流完成.

训练题1解：∵对称轴x = 1，

（1）当1≥t +2即t≤–1时，

f (x)max­ = f (t) = t 2 –2t –3，

f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3.

（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，

f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3，

f (x)min= f (1) = – 4.

（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，

f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，

f (x)min = f (1) = – 4.

（4）当1＜t，即t＞1时，

f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3，

f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.

设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有

g (t) =

例2分析：由函数y =(x[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.

解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f (x1) – f (x2) =

=

=.

 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，

于是    f (x1) – f (x2)＞0，

即    f (x1)＞f (x2).

所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数.  因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.

训练题2答案：最小值.

训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.

解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：

y = b·+ ax2·.

∴y = s (a x +) . （其中x(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.

设x1，x2(0，+∞)，且x1＜x2，则

f (x1) – f (x2)

= s[(ax1 +)– (ax2 +)]

= s[a (x1– x2) +]

=

=

∵x1，x2＞0，且x1＜x2

∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0

∴当x1，x2(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)，

当x1，x2[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2).

综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶.

自学与指导相结合，提高学生的学习能力.

讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养

进一步固化求最值的方法及步骤.

（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.

（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.

归纳总结

1．最值的概念

2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.

师生交流合作总结、归纳.

培养学生的概括能力

课后作业

1.3第二课时  习案

学生独立完成

能力培养