高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量本节综合与测试练习

课后素养落实(十二)　从位移、速度、力到向量

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列物理量中，是向量的是(　　)

A．力    B．位移    C．质量    D．速度

[答案]　ABD

2．(多选题)下列说法错误的是(　　)

A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D．若a＝b，b＝c，则a＝c

[答案]　ABC

3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)

A．与     B．与

C．与     D．与

D　[∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.]

4．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于(　　)

A．0     B．a

C．b     D．不存在这样的向量

A　[零向量与任一向量是共线向量，故c＝0.]

5．下列说法中正确的个数是(　　)

(1)单位向量都平行；

(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

(4)有相同起点的两个非零向量不平行；

(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．

A．2    B．3    C．4    D．5

A　[(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．

(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．

(3)正确．因为零向量与任一向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．

(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．

(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]

二、填空题

6．在等边三角形ABC中，点E为BC的中点，则与的夹角为________，与的夹角为________．

90°　30°　[如图：显然⊥，

∴与的夹角为90°，

与的夹角为30°.]

7.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，与共线的向量为________．与相等的向量为________．

[答案]　(1)，，，，，，，，，，

(2)，，

8．给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号).

①③④　[相等向量一定是共线向量，①能使a∥b成立；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b成立；零向量与任一向量平行，④成立．]

三、解答题

9.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)写出与向量相等的向量；

(2)写出与向量共线的向量．

[解]　(1)∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，

∴＝，＝，

∴＝.

故与向量相等的向量是，.

(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.

10.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．

[解]　由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.

由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.

又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．

11．(多选题)下列说法中，错误的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b

B．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上

C．向量与是平行向量

D．任何两个单位向量都是相等向量

ABD　[A.错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

B．错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．

C．正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．

D．错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．]

12．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)

A．不共线     B．长度不相等

C．不都是单位向量   D．不都是零向量

D　[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．]

13．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

(1)与相等的向量________；

(2)与长度相等的向量________．

(1)　(2)，，，，，，　[如图所示，(1)易知BC＝AD且BC∥AD，所以与相等的向量为.

(2)由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OB＝OD＝OA＝OC，

所以与长度相等的向量有，，，，，，.]

14．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．

2　[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.]

15.如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.

求证：＝.

[证明]　∵＝，

∴||＝||且AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴||＝||，且DA∥CB.

又∵与的方向相同，∴＝.

∵＝，∴四边形CNAM是平行四边形，∴＝.

∵||＝||，||＝||，∴||＝||.

∵DN∥MB且与的方向相同，∴＝.