高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第2课时课堂检测

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第2课时课堂检测，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十二)　正弦定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)A．    B．    C．    D．A　[根据正弦定理得＝＝.故选A.]2．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形     B．直角三角形C．钝角三角形     D．等腰三角形B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.]3．(多选题)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)A．60°    B．30°    C．120°    D．150°AC　[由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝.∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.]4．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)A．30°    B．45°    C．60°    D．90°B　[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，即tan B＝1，又因0°＜B＜180°，所以B＝45°，故选B.]5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝b sin A，则sin B＝(　　)A．    B．    C．    D．－B　[由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，所以sin A＝sin B sin A，故sin B＝.]二、填空题6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________．2　[由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.]7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．　[由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.]8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________．　[∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，∴由正弦定理＝，得＝.∴sin A＝.]三、解答题9．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求的值．[解]　(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，b＝，求c的值．[解]　(1)由a cos C＋c＝b，得sin A cos C＋sin C＝sin B.因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin C＝cos A sin C.因为sin C≠0，所以cos A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由正弦定理，得sin B＝＝.所以B＝或.①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.综上可得c＝1或2.11．(多选题)下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin BB．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0，)，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin (－B)＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，根据余弦定理得a·＝b·，化简得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又因为B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.]12．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝(　　)A．    B．2    C．4    D．2C　[根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，∵△ABC的周长为4(＋1)，∴解得a＝4.故选C.]13．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________．7　[∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.]14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．　3　[由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去).]15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c满足2bc sin A＝(a2＋c2－b2).(1)求B的大小；(2)若△ABC外接圆的半径为，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解]　(1)由余弦定理及2bc sin A＝(a2＋c2－b2)，可得b sin A＝a cos B，又由正弦定理，可得sin B sin A＝sin A cos B，因为0＜A＜π，所以sin A≠0，所以sin B＝cos B，所以tan B＝，又因为0＜B＜π，所以B＝.(2)由(1)可知sin B＝，又知△ABC外接圆的半径为，则由正弦定理得b＝2R sin B＝2××＝3.又由S＝ac sin B＝，可得ac＝9，根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36所以a＋c＝6，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9.