高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数本章综合与测试课时练习

章末综合测评(四)　复数

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

A　[z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点为(20，15)，所以复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点在第一象限．]

2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)

A．1－2i     B．－1＋2i

C．3＋4i     D．－3－4i

D　[∵对应复数为2＋i，对应复数为1＋3i，

∴对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴对应的复数是－3－4i.]

3．已知a是实数，是纯虚数，则a等于(　　)

A．1    B．－1     C．    D．－

A　[＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.]

4．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)

A．    B．    C．    D．2

C　[因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，

所以|z|＝.]

5．复数为纯虚数，则它的共轭复数是(　　)

A．2i    B．－2i    C．i    D．－i

D　[∵复数＝＝为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝1.∴＝i，则它的共轭复数是－i.]

6．已知复数z满足(1－i)z＝i2 021(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)

A．    B．－    C．i    D．－i

B　[∵i4＝1，∴i2 021＝i·(i4)505＝i，

∴z＝＝－＋i，

则＝－－i，∴的虚部为－.]

7．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)

A．(2，4)    B．(2，－4)

C．(4，－2)    D．(4，2)

C　[z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]

8．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为(　　)

A．p＝－4，q＝5     B．p＝4，q＝5

C．p＝4，q＝－5     D．p＝－4，q＝－5

A　[由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．已知复数z＝3－4i，则下列命题中正确的为(　　)

A．＝5

B．＝3＋4i

C．z的虚部为－4i

D．z在复平面上对应点在第四象限

ABD　[由题意，复数z＝3－4i，可得＝＝5，所以A正确；

复数z的共轭复数＝3＋4i，所以B正确；

由复数z＝3－4i，可得复数z的虚部为－4，所以C错误；

复数z在复平面上对应点的坐标为(3，－4)，在第四象限，所以D正确．

故选ABD.]

10．给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A．纯虚数z的共轭复数是－z

B．若z1－z2＝0，则z1＝2

C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数

D．若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数

AD　[根据共轭复数的定义，所以A是真命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝2，当z1，z2是虚数时，z1≠2，所以B是假命题；若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与2互为共轭复数，故D是真命题．故选AD.]

11．复数z＝，i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　)

A．|z|＝

B．z的共轭复数为＋i

C．z的实部与虚部之和为2

D．z在复平面内的对应点位于第一象限

CD　[由题得，复数z＝＝＝＝＋i，可得|z|＝＝，则A不正确；z的共轭复数为－i，则B不正确；z的实部与虚部之和为＋＝2，则C正确；z在复平面内的对应点为(，)，位于第一象限，则D正确．综上，正确结论是CD.故选CD.]

12.下列说法中不正确的是(　　)

A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数

B．若＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1

C．设a，b，c，d∈R，若(c＋di≠0)为实数，则bc－ad＝0

D．若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数z的点是H

AB　[在复平面内，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，故A错误；

若＋i(a∈R)是纯虚数，

则 ，解得a＝1，故B错误；

＝＝

所以若(c＋di≠0)为实数，则有bc－ad＝0，故C正确；

图中复平面内的点Z表示复数z＝2－i，

因为z＝＝3＋i，所以对应的点为，即为H点，故D正确．故选AB.]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．复数z＝的共轭复数是________．

1＋i　[依题意得z＝＝＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.]

14．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________．

－3　－10　[∵＝2＋，∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，

即∴]

15．(1＋i)20－(1－i)20的值等于________．

0　[(1＋i)20－(1－i)20＝－＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.]

16．下列说法中正确的是________．

①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有；

②2＋i>1＋i；

③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；

④若一个数是实数，则其虚部不存在；

⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．

⑤　[由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)设复数z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，

(1)z是实数？(2)z是纯虚数？

[解]　 (1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.

即当m＝－2或－1时，z是实数．

(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.

即当m＝3时，z是纯虚数．

18．(本小题满分12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且·z为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)若w＝，求复数w的模.

[解]　·＝＋i，

∵·z是纯虚数，

∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1，∴z＝3＋i.

w＝＝＝＝－i，

∴＝＝.

19．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．

[解]　因为z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，

所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝，

又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，所以<，

所以a2－8a＋7<0，解得1<a<7.

所以a的取值范围是(1，7).

20．(本小题满分12分)已知z＝(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－，求ω·.

[解]　ω＝z(z＋i)＝＝·＝＋i.

根据题意－＝－，得x2－1＝3.

∵x>0，∴x＝2，∴ω＝＋3i.

∴ω·＝＝.

21．(本小题满分12分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．

[解]　(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.

因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，z2＝2a.

由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.

(2)证明：ω＝＝＝＝－i.

因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．

22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.

(1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

[解]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，

由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以z＝1＋i或z＝－1－i.

(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，

所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.

当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，

所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，

所以S△ABC＝1.综上，△ABC的面积为1.