必修 第二册2 直观图习题

课后素养落实(三十九)　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．直线绕定直线旋转形成柱面

B．半圆绕定直线旋转形成球体

C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的

D　[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A不正确；半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确；C不符合棱台的定义，所以应选D.]

2．下列命题中正确的是(　　)

A．将正方形旋转不可能形成圆柱

B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

C　[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.]

3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　　)

A．2    B．2π    C．或    D．或

C　[如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.

]

4．下列说法，正确的是(　　)

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．

A．①②    B．②③    C．①③    D．②④

D　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]

5. 一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为(　　)

A．10 cm     B．20 cm

C．20 cm     D．10 cm

A　[如图所示，在Rt△ABO中，

AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20×＝10(cm).]

二、填空题

6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是______．

[答案]　圆柱

7．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________．

①⑤　[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]

8．已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．

　[由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD1截球O所得的截面即为△ACD1的内切圆，三角形的边长为，所以内切圆的半径r＝××＝，所以圆的面积为.]

三、解答题

9.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．

[解]　如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．

10.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)

[解]　∵△ABC为正三角形，

∴BC＝6，

∴l＝2π×3＝6π，

根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：＝6π，

故n＝180°，则∠B′AC＝90°，

∴B′P＝＝3(m)，

∴小猫所经过的最短路程是3 m．

11．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　)

B　[由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面、侧面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.]

12．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)

A．一个圆台、两个圆锥

B．两个圆台、一个圆柱

C．两个圆柱、一个圆台

D．一个圆柱、两个圆锥

D　[从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．]

13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．

　[由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥底面圆的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝ .]

14. 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________．

　[如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知

GH＝5，GF1＝，GE1＝＝.

所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.]

15．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．

[解]　设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO＝30°.在Rt△BO′A′中，＝sin 30°，∴BA′＝2r.

在Rt△BOA中，＝sin 30°，∴BA＝4r.

又BA－BA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.

∴S＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.

∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.