高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步本章综合与测试课时训练

微专题强化练(三)　球的内切、外接问题的常见策略

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　)

A．3π　　　B．4π　　　C．3π　　　D．6π

A　[联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的表面积为3π.]

2．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是π，则该正方体的体积为(　　)

A．4    B．16    C．8    D．64

D　[正方体的内切球的体积是π，

则πR3＝π，∴R＝2，

则内切球的半径R＝2，

所以该正方体的棱长为4，

所以该正方体的体积为V＝43＝64.]

3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[设正方体棱长为a，球半径为R.

由6a2＝4πR2，得＝，

设正方体和球的体积分别为V1，V2，

所以＝＝()3＝.]

4．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A．    B．    C．20π    D．

B　[用平面去截球所得截面的面积为π，所以截面圆的半径为1.

已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r＝＝，

所以球的体积为V＝π×()3＝.]

5．长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为(　　)

A．4π    B．12π    C．24π    D．48π

B　[长方体的体对角线即为外接球的直径2R，

∵长方体的长、宽、高分别为2，，，

∴(2R)2＝22＋()2＋()2＝12，R2＝3，

∴外接球的表面积为4πR2＝12π.]

二、填空题

6．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．

14π　[因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为，故球的表面积为14π.]

7．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是________．

6π　[据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，

∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R，

则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6.∴R2＝.

故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.]

8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积是________．

48　48　[设球的半径为r，则πr3＝π，

得r＝2，柱体的高为2r＝4.

又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，

所以底面正三角形的边长为4，

所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4＝48，

体积V＝×(4)2×4＝48.]

三、解答题

9．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，求该球的体积．

[解]　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有∴

∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，球心到底面的距离d＝.

∴外接球的半径R＝＝1.∴V球＝.

10．已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB＝6，AC＝2，AD＝8，求B，C两点间的球面距离．

[解]　因为AB⊥平面BCD，BC⊥DC，所以AB，BC，DC两两垂直，构造如图所示的长方体，则AD为球的直径，AD的中点O为球心，OB＝OC＝4为半径，要求B，C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC＝＝4，所以△OBC为正三角形，

所以∠BOC＝60°，故B，C两点间的球面距离是π.