苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算课时练习

课后素养落实(六)　平面向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是(　　)

A．①④  B．②③  C．①③  D．②④

C　[如图所示，与为不共线向量，可以作为基底．与为不共线向量，可以作为基底．与，与均为共线向量，不能作为基底．]

2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)

A．不共线   B．共线

C．相等   D．不确定

B　[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]

3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为(　　)

A．－2  B．－4  C．－6  D．－8

D　[易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，

∴∴k＝－8．]

4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝(　　)

A．  B．2  C．  D．4

B　[由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，

∴＝2．]

5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．

又∵＝＋λ，∴λ＝．]

二、填空题

6．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．

a＋b　2a＋c　[由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时，＝＋＝＋＝c＋a，

＝＋＝a＋c＋a＝2a＋c．]

7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．

(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4．]

8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________．

0　[原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0．]

三、解答题

9．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与．

[解]　＝＋＝＋

＝＋＝a＋b．

＝＋＋

＝－＋＋

＝－a＋b＋a＝－a＋b．

10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a．

[解]　设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则

－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，

即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，

∴∴

∴a＝－b＋c．

11．(多选题)等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　　)

A．＝(＋)   B．＝＋

C．＝   D．＝＋

AC　[如图，∵＝，∴D为BC的中点，

∴＝(＋)，

∴A正确；

∵＝2，

∴＝＝(－)，

∴＝＋＝＋(－)＝＋，∴B错误；

设＝λ＝＋＝＋，

∵B，F，E三点共线，

∴＋＝1，解得λ＝，

∴＝，∴C正确；

＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋，∴D错误．]

12．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[如图，分别在，上取点E，F，

使＝，＝，

在上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，

∴＝＋＝，

∴M与G重合，

∴＝＝．]

13．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

　[设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－，∴∴m＝λ＝．]

14．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．

(－∞，0)　　[设＝a＋b(a，b为正实数，0<b<1)，＝λ(λ>0)，

则＝aλ＋b＝aλ(－)＋b＝－aλ＋(aλ＋b)．

由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．

因为＝x＋y，

所以0<x＋y<1，

当x＝－时，有0<－＋y<1，解得y∈．]

15．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3．

[证明]　因为M是AB边的中点，

所以＝(＋)＝(a＋b)．

因为G是△ABO的重心，

所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，

所以有且只有一个实数λ，使＝λ．

而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，

＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，

所以a＋b＝λ．

又因为a，b不共线，

所以

消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3．