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广东省肇庆市封开县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省肇庆市封开县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共16页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省肇庆市封开县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请在答题卡上把正确的选项涂黑.
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．2、4、7 C．8、10、20 D．5、15、8
3．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
4．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
9．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
12．（4分）一个n边形的内角和是540°，那么n＝ ．
13．（4分）若分式的值为0，则x的值为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 ．
15．（4分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则∠DBC＝ ．
16．（4分）若xm＝3，xn＝6，求xm+n的值为 ．
17．（4分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x+2）．
19．（6分）解方程：．
20．（6分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．
22．（8分）在新冠肺炎疫情发生后，某企业加快转型步伐，引进A，B两种型号的机器生产防护服，已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工20套防护服，且一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等．
（1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少套防护服？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台，一起加工一批防护服，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，则至少需要安排几台A型机器？
23．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
25．（10分）如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E．
（1）如图2，若点E正好落在边BC上，求∠B的度数；
（2）在（1）的基础上，证明：BC＝3DE．
（3）如图3，若点E满足C、E、D共线．线段AD、DE、BC之间是否满足AD+DE＝BC，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请在答题卡上把正确的选项涂黑.
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念 对各图形判断即可得解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
所以，共有2个轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．2、4、7 C．8、10、20 D．5、15、8
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：A、4+5＞6，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+4＜7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、8+10＜20，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、5+8＜15，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠C，再由全等三角形的性质可知∠C′＝∠C，可求得答案．
【解答】解：
在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
4．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3），则此点在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE＝DE，则可求得答案．
【解答】解：
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝4+2＝6，
即△AED的周长为6，
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，证得DE＝BE是解题的关键，注意角平分线、平行线的性质有应用．
8．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
【分析】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2•x•3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2•x•3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
9．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）一个n边形的内角和是540°，那么n＝ 5 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝540°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
13．（4分）若分式的值为0，则x的值为 1 ．
【分析】根据分式的分子分子为零，分母不为零，可得答案．
【解答】解：由分式的值为0，得
x﹣1＝0，x﹣2≠0，
解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0，这两个条件缺一不可．
14．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 4 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到BD＝CD，求得CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴CD＝6﹣2＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（4分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则∠DBC＝ 15° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由翻折变换的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝＝65°．
∵△EBD由△EAD折叠而成，
∴∠EBD＝∠A＝50°，
∴∠DAB＝∠ABC﹣∠EBD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知等腰三角形两个底角相等及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
16．（4分）若xm＝3，xn＝6，求xm+n的值为 18 ．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：因为xm＝3，xn＝6，
所以xm+n＝xm•xn＝3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
17．（4分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵F是CE的中点，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x+2）．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+4＝﹣6x+13．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
19．（6分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1），
得3x＝4x﹣4，
解得x＝4．
检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0．
∴x＝4是原方程的根．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
20．（6分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
【分析】由“ASA”可证△ACB≌△ECD，可得BC＝CD＝3．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴BC＝CD＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ECD是本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[]•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（8分）在新冠肺炎疫情发生后，某企业加快转型步伐，引进A，B两种型号的机器生产防护服，已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工20套防护服，且一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等．
（1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少套防护服？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台，一起加工一批防护服，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，则至少需要安排几台A型机器？
【分析】（1）设每台B型号的机器每小时加工x套防护服，则每台A型号的机器每小时加工（x+20）套防护服，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，根据这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型号的机器每小时加工x套防护服，则每台A型号的机器每小时加工（x+20）套防护服，
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80．
答：每台A型号的机器每小时加工80套防护服，每台B型号的机器每小时加工60套防护服．
（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，
依题意得：80m+60（10﹣m）≥720，
解得：m≥6．
答：至少需要安排6台A型机器．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
【分析】（1）利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD；
（2）先利用勾股定理计算出AC＝10，再证明Rt△ACD≌Rt△ACE得到S△ACD＝S△ACE，则四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）在Rt△ACD中，
∵CD＝6，AD＝8，
∴AC＝，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
【分析】（1）将原式移项，然后拆分，组成两个完全平方式，再根据非负数的性质即可求出a、b的值即可；
（2）根据三角形三边关系，可得c的值；
（3）根据三角形三边关系和三角形周长公式，可得这个三角形的周长．
【解答】（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（3）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
【点评】本题考查配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用配方法解答问题．
25．（10分）如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E．
（1）如图2，若点E正好落在边BC上，求∠B的度数；
（2）在（1）的基础上，证明：BC＝3DE．
（3）如图3，若点E满足C、E、D共线．线段AD、DE、BC之间是否满足AD+DE＝BC，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
又∵ED是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠DAE＝∠B，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝×90°＝30°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，且EC⊥AC，ED⊥AB
∴EC＝ED，
在Rt△EDB中，∠B＝30°
∴BE＝2DE，
BC＝BE+CE＝BE+DE＝3DE；
（3）解：线段AD、DE、BC之间满足AD+DE＝BC，证明如下：
过点E作EF⊥AC于点F，如图3所示：
∵ED是AB的垂直平分线，且C、E、D共线，
∴CD也是AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
又∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACD＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF，
∵AE平分∠CAB，且EF⊥AC，ED⊥AB，
∴EF＝ED∴ED＝FC，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴AD＝AF，
∴BC＝AC＝AF+FC＝AD+DE．
【点评】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
广东省肇庆市封开县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请在答题卡上把正确的选项涂黑.
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．2、4、7 C．8、10、20 D．5、15、8
3．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
4．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
9．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
12．（4分）一个n边形的内角和是540°，那么n＝ ．
13．（4分）若分式的值为0，则x的值为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 ．
15．（4分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则∠DBC＝ ．
16．（4分）若xm＝3，xn＝6，求xm+n的值为 ．
17．（4分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x+2）．
19．（6分）解方程：．
20．（6分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．
22．（8分）在新冠肺炎疫情发生后，某企业加快转型步伐，引进A，B两种型号的机器生产防护服，已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工20套防护服，且一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等．
（1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少套防护服？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台，一起加工一批防护服，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，则至少需要安排几台A型机器？
23．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
25．（10分）如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E．
（1）如图2，若点E正好落在边BC上，求∠B的度数；
（2）在（1）的基础上，证明：BC＝3DE．
（3）如图3，若点E满足C、E、D共线．线段AD、DE、BC之间是否满足AD+DE＝BC，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请在答题卡上把正确的选项涂黑.
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念 对各图形判断即可得解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
所以，共有2个轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．2、4、7 C．8、10、20 D．5、15、8
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：A、4+5＞6，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+4＜7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、8+10＜20，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、5+8＜15，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠C′的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．120°
【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠C，再由全等三角形的性质可知∠C′＝∠C，可求得答案．
【解答】解：
在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
4．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3），则此点在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE＝DE，则可求得答案．
【解答】解：
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝4+2＝6，
即△AED的周长为6，
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，证得DE＝BE是解题的关键，注意角平分线、平行线的性质有应用．
8．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
【分析】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2•x•3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2•x•3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
9．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）一个n边形的内角和是540°，那么n＝ 5 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝540°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
13．（4分）若分式的值为0，则x的值为 1 ．
【分析】根据分式的分子分子为零，分母不为零，可得答案．
【解答】解：由分式的值为0，得
x﹣1＝0，x﹣2≠0，
解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0，这两个条件缺一不可．
14．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 4 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到BD＝CD，求得CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴CD＝6﹣2＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（4分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则∠DBC＝ 15° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由翻折变换的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝＝65°．
∵△EBD由△EAD折叠而成，
∴∠EBD＝∠A＝50°，
∴∠DAB＝∠ABC﹣∠EBD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知等腰三角形两个底角相等及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
16．（4分）若xm＝3，xn＝6，求xm+n的值为 18 ．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：因为xm＝3，xn＝6，
所以xm+n＝xm•xn＝3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
17．（4分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵F是CE的中点，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x+2）．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+4＝﹣6x+13．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
19．（6分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1），
得3x＝4x﹣4，
解得x＝4．
检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0．
∴x＝4是原方程的根．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
20．（6分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
【分析】由“ASA”可证△ACB≌△ECD，可得BC＝CD＝3．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴BC＝CD＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ECD是本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[]•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（8分）在新冠肺炎疫情发生后，某企业加快转型步伐，引进A，B两种型号的机器生产防护服，已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工20套防护服，且一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等．
（1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少套防护服？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台，一起加工一批防护服，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，则至少需要安排几台A型机器？
【分析】（1）设每台B型号的机器每小时加工x套防护服，则每台A型号的机器每小时加工（x+20）套防护服，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，根据这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型号的机器每小时加工x套防护服，则每台A型号的机器每小时加工（x+20）套防护服，
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80．
答：每台A型号的机器每小时加工80套防护服，每台B型号的机器每小时加工60套防护服．
（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，
依题意得：80m+60（10﹣m）≥720，
解得：m≥6．
答：至少需要安排6台A型机器．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
【分析】（1）利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD；
（2）先利用勾股定理计算出AC＝10，再证明Rt△ACD≌Rt△ACE得到S△ACD＝S△ACE，则四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）在Rt△ACD中，
∵CD＝6，AD＝8，
∴AC＝，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
【分析】（1）将原式移项，然后拆分，组成两个完全平方式，再根据非负数的性质即可求出a、b的值即可；
（2）根据三角形三边关系，可得c的值；
（3）根据三角形三边关系和三角形周长公式，可得这个三角形的周长．
【解答】（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（3）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
【点评】本题考查配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用配方法解答问题．
25．（10分）如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E．
（1）如图2，若点E正好落在边BC上，求∠B的度数；
（2）在（1）的基础上，证明：BC＝3DE．
（3）如图3，若点E满足C、E、D共线．线段AD、DE、BC之间是否满足AD+DE＝BC，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
又∵ED是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠DAE＝∠B，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝×90°＝30°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，且EC⊥AC，ED⊥AB
∴EC＝ED，
在Rt△EDB中，∠B＝30°
∴BE＝2DE，
BC＝BE+CE＝BE+DE＝3DE；
（3）解：线段AD、DE、BC之间满足AD+DE＝BC，证明如下：
过点E作EF⊥AC于点F，如图3所示：
∵ED是AB的垂直平分线，且C、E、D共线，
∴CD也是AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
又∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACD＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF，
∵AE平分∠CAB，且EF⊥AC，ED⊥AB，
∴EF＝ED∴ED＝FC，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴AD＝AF，
∴BC＝AC＝AF+FC＝AD+DE．
【点评】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
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