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【68页精品】北师大八年级数学下学期全套教案〔整套)
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这是一份八年级下册本册综合教学设计及反思，共68页。教案主要包含了教学目标，教学过程，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
目录
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1 不等关系
2 不等式的基本性质
3 不等式的解集
4 一元一次不等式
5 一元一次不等式与一次函数
6 一元一次不等式组
第二章 分解因式
1 分解因式
2 提公因式法
3 运用公式法
第三章 分式
1 分式
2 分式的乘除法
3 分式的加减法
4 分式方程
第四章 相似图形
1 线段的比
2 黄金分割
3 形状相同的图形
4 相似多边形
5 相似三角形
6 探索三角形相似的条件
7 测量旗杆的高度
8 相似多边形的性质
9 图形的放大与缩小
第五章 数据的收集与处理
1 每周干家务活的时间
2 数据的收集
3 频数与频率
4 数据的波动
第六章 证明（一）
1 你能肯定吗
2 定义与命题
3 为什么他们平行
4 如果两条直线平行
5 三角形内角和定理的证明
6 关注三角形的外角
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1.1 不等关系
一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：
如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？
（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？
（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？
（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）² 。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是
（L/4）²≤25，
即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是
π（L/2π）²＞100
即 L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为
8²/4π≈5.1，
4＜5.1
此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为
12²/4π≈11.5，
9＜11.5，
此时还是圆的面积大。
教师得出结论
（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
L²/4π＞L²/16。
三、 随堂练习
1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系
（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；
（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质
一、教学目标
（1）探索并掌握不等式的基本性质；
（2）理解不等式与等式性质的联系与区别.
二、教学内容
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
1.不等式基本性质的推导
例∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
例：3＜4
3×3＜4×3
3×＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－）
3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
三、课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2 （2）－x＜
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6;
（2）3x＜3y;
（3）－2x＜－2y.
解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.
∴不等式不成立；
（2）∵x＞y,∴3x＞3y
∴不等式不成立；
（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y
∴不等式一定成立.
4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1;
（3）x＞5;（4）－4x＞3.
5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3 b－3;（2） ;
（3）－4a －4b;（4）5a 5b;
（5）当a＞0,b 0时，ab＞0;
（6）当a＞0,b 0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b 0时，ab＞0;
（8）当a＜0,b 0时，ab＜0.
参考答案：
4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－.
5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.
1.3 不等式的解集
一、教学目标
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
二、教学过程
1.现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞.
解：设导火线的长度应为x cm，根据题意，得
＞
∴x＞5.
2.想一想
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.
（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.
3.例题讲解
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2
在数轴上表示为：
（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4
在数轴上表示为：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8
根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4
在数轴上表示为：
三、课堂练习
1.判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解；
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4;（2）x≤－1;
（3）x≥－2;（4）x≤6.
1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1
∴x－1＞0有无数个解.∴正确.
（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,
∴x≤,∴结论错误.
2.解：
1.4 一元一次不等式
一、教学目标
1.知道什么是一元一次不等式？
2.会解一元一次不等式.
二、一元一次不等式的定义.
下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240;
（3）x＜－4;（4）＞1.
答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.
（4）为什么不是呢？
因为x在分母中，不是整式.
不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.
2.一元一次不等式的解法.
例1 解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得
3＜3x+6
两边都加上－6,得
3－6＜3x+6－6
合并同类项，得
－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.
［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）
去括号，得3x－6≥14－2x
移项，合并同类项，得5x≥20
两边都除以5，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
三、课堂练习
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0;
（3）＜;
（4）－1＜.
解：（1）两边同时除以5，得x＞－2.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）移项，得－3x≤－12,
两边都除以－3，得x≥4,
这个不等式的解集在数轴上表示为：
（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,
去括号，得3x－3＜8x－10,
移项、合并同类项，得5x＞7,
两边都除以5，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示为：
（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,
移项、合并同类项，得2x＞3,
两边都除以2，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示如下：
1.5 一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
二、教学过程
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=,
∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
3.试一试
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.
三、课堂练习
1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
解：如图1－24所示：
当x取小于的值时，有y1＞y2.
2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.
解：图象如下：
分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.
［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0;
（2）当x＜4时，－2x+8＞0;
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.
（4）由2x－4=0,得x=2;
由－2x+8=0,得x=4
所以AB=4－2=2
由
得交点C（3，2）
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=×2×2=2.
3.分别解不等式
5x－1＞3（x+1）,
x－1＜7－x
所得的两个解集的公共部分是什么？
解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2
解不等式x－1＜7－ x，得x＜4,
所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，
根据题意，得
y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,
y2=30%x－700=0.3x－700.
（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;
（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;
（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.
所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.
5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
解：（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,
把（2，6）代入得，k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=－,b=
∴y2=－x+
（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的.
1.6 一元一次不等式组
一、教学目标
总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
二、教学过程
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？
解：
设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得
4（x+5）>100, （1）
且 4（x-5）<68. （2）
未知数x同时满足 （1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作 4（x+5）>100,
4（x-5）<68.
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。
解下列不等式组
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
解：解不等式（1），得x＞1
解不等式（2），得x＞－4.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集是x＞1
（2）
解：解不等式（1），得x＜
解不等式（2），得x＜
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如下图
所以，原不等式组的解集是x＜
（3）
解：解不等式（1），得x＞
解不等式（2），得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为＜x≤4.
（4）
解：解不等式（1），得x＞4.
解不等式（2），得x＜3.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集为无解.
我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.
（1）由得x＞1;
（2）由;
（3）由得＜x≤4;
（4）由得，无解.
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b;
（2）不等式组的解集是x＜a;
（3）不等式组的解集是a＜x＜b;
（4）不等式组的解集是无解.
用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；
大于小数小于大数取中间；
大于大数小于小数无解.
三、课堂练习
解下列不等式组
（1）
（2）
［解］（1）
解不等式（1），得x＜2
解不等式（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，
所以，原不等式组无解.
（2）
解：解不等式（1），得x＞2
解不等式（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为x＞3.
第二章 分解因式
2.1 分解因式
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
二、教学过程
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.
解法一：S=× + × + × =++=2
解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;
（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
三、课堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （m）
（2）4kx－8ky （4k）
（3）5y3+20y2 （5y2）
（4）a2b－2ab2+ab （ab）
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
四、课后作业
1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;
（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;
（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;
（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;
（5）－24x2y－12xy2+28y3
=－（24x2y+12xy2－28y3）
=－4y（6x2+3xy－7y2）;
（6）－4a3b3+6a2b－2ab
=－（4a3b3－6a2b+2ab）
=－2ab（2a2b2－3a+1）;
（7）－2x2－12xy2+8xy3
=－（2x2+12xy2－8xy3）
=－2x（x+6y2－4y3）;
（8）－3ma3+6ma2－12ma
=－（3ma3－6ma2+12ma）
=－3ma（a2－2a+4）;
2.利用因式分解进行计算
（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1
=12.1×（1.3+0.9－1.2）
=12.1×1=12.1
（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4
=13.2×（2.34+0.66－2）
=13.2×1=13.2
（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π（R12+R22+R32）
=3.14×（202+162+122）
=2512
2.2 提公因式法
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
例1 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
解：（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
解：（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）（2x－2y+3）;
（6）mn（m－n）－m（n－m）2
=mn（m－n）－m（m－n）2
=m（m－n）［n－（m－n）］
=m（m－n）（2n－m）.
补充练习
把下列各式分解因式
解：1.5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）3+10（x－y）2
=5（x－y）2［（x－y）+2］
=5（x－y）2（x－y+2）;
2. m（a－b）－n（b－a）
=m（a－b）+n（a－b）
=（a－b）（m+n）;
3. m（m－n）+n（n－m）
=m（m－n）－n（m－n）
=（m－n）（m－n）=（m－n）2;
4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）
= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）
=（m－n）（p－q）（m +n）;
5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）
=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）
=（b－a）［（b－a）－a+b］
=（b－a）（b－a－a+b）
=（b－a）（2b－2a）
=2（b－a）（b－a）
=2（b－a）2
2.3运用公式法（一）
一、教学目标
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
二、教学过程
1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.
利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
观察式子a2－b2,找出它的特点.
答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2
=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
三、课堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式
解：（1）a2b2－m2
=（ab）2－m 2
=（ab+ m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：剩余部分的面积为10.4 cm2.
四、课后作业
1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;
（2）36－x2=（6+x）（6－x）;
（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;
（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;
（5）0.25q2－121p2
=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;
（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;
（7）9a2p2－b2q2
=（3ap+bq）（3ap－bq）;
（8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）;
2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;
（2）49（a－b）2－16（a+b）2
=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2
=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］
=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）
=（11a－3b）（3a－11b）;
（3）（2x+y）2－（x+2y）2
=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］
=（3x+3y）（x－y）
=3（x+y）（x－y）;
（4）（x2+y2）－x2y2
=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;
（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）
=3a（x+y2）（x－y2）
（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）
=（p2+1）（p+1）（p－1）.
3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）
=π（R+r）（R－r）
当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，
S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）
答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
运用公式法（二）
一、教学目标
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
二、教学过程
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
三、新课
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
1.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
四、课堂练习
1.（1）是完全平方式
x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
m2+3 m n+9n2
=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2
=（ m +3n）2
（4）不是完全平方式
2.（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2
五、课后作业
1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）y2+y+=（y+）2;
（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;
（5）+xy+y2=（+y）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］2
=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3
=y（4xy－4x2－y2）
=－y（4x2－4xy+y2）
=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
第三章 分式
3.1 分式
一、教学目标
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
二、教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）
这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）
在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
原计划完成一期工程需个月，
实际完成一期工程需c个月，
根据等量关系（1）可列出方程：
+4=.
用等量关系（2）设未知数，列方程呢？
因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.
同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？
我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.
像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
2.例题讲解
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x－7,3x2－1,,,－5,,,.
（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.
②当a为何值时，分式有意义？
③当a为何值时，分式的值为零？
（1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式.
（2）解：①当a=1时，==1;
当a=2时，==.
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a=0，得a=0.
所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.
③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：
所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零.
三、随堂练习
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）;（3）
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.
3.2 分式的乘除法
一、教学目标
1.分式乘除法的运算法则，
2.会进行分式的乘除法的运算.
二、教学过程
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=.
猜一猜×=? ÷=?
观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.
即×=;
÷=×=.
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零.
1.分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
2.例题讲解
［例1］计算：
（1）·;（2）·.
分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
解：（1）·=
==;
（2）·
==.
［例2］计算：
（1）3xy2÷;（2）÷
分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
解：（1）3xy2÷=3xy2·
==x2;
（2）÷
=×
=
=
=
3.做一做
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3;
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3.
（3）我认为买大西瓜合算.
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算.
三、随堂练习
1.计算：（1）·;（2）（a2－a）÷;（3）÷
2.化简：
（1）÷;
（2）（ab－b2）÷
解：1.（1）·===;
（2）（a2－a）÷=（a2－a）×
==（a－1）2
=a2－2a+1
（3）÷=×
==（x－1）y=xy－y.
2.（1）÷
=×
=
=（x－2）（x+2）=x2－4.
（2）（ab－b2）÷
=（ab－b2）×=
=b.
3.3 分式的加减法
一、教学目标
1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.
2.简单的异分母的分式相加减的运算.
二、教学过程
问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?
（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？
答案：问题一，根据题意可得下列线段图：
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.
（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.
如果要比较（+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.
比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b.
如果a－b＞0，则a＞b;
如果a－b=0,则a=b；
如果a－b＜0,则a＜b.
显然（+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.
如果用作差的方法，例如（+）－，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？
做一做
（1）+=____________.
（2）－=____________.
（3）－+=____________.
同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如+－==－.
我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.
解：（1）+==;
解：（2）－=;
解：（3）－+
=
=
=
异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法
［例1］计算：
（1）+;（2）+
［例1］中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式化成=即可.
解：（1）+=+
===;
（2）+=+
==
三、计算：
（1）－;
（2）+;
（3）－
解：（1）－==;
（2）+=+==;
（3）－=－
==.
3.4 分式方程
一、教学目标
1.了解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
二、教学过程
解方程+=2－
（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.
（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x=13,
（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.
例1 解方程：－=4
解：方程两边同乘以2x，得
600－480=8x
解这个方程，得x=15
检验：将x=15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.
例2 .解方程：
（1）=;（2）+=2.
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：（1）=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
（2）+=2
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得x=
检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.
所以原方程的根为x=.
第四章 相似图形
4.1 线段的比
一、教学目标
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
3.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.
二、教学过程
1.两条线段的比的概念
两条线段的比就是两条线段长度的比.
比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
不对，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2..例题
在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得
因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm）,
144000 cm=1440 m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000 cm=900 m.
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现：
三、随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
解：根据题意，得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此，矩形运动场的长是
2×8000=16000（cm）=160（m）
矩形运动场的宽是
1×8000=8000（cm）=80（m）
所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.
四、活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.
解：方案（1）：
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）
∴
解得：a=
方案（2）：
由（*）得
∴x=,a=
方案（3）：
由（*）得
∴y=
且 ∴z=
由=a 得a=
方案（4）：
由（*）得
∴b=
n=1－ m=a2－1
∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1
∴a=（负值舍去）
4.2 黄金分割
一、教学目标
明白黄金分割
二、教学过程
如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果=那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
4.3 形状相同的图形
一、教学目标
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
二、教学过程
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
三、课堂练习
1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形
（2）填表1如下：
表1
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,y）
O1（0,0）
A1（2,2）
B1（4,4）
C1（6,2）
D1（8,0）
分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（x,2y）
O2（0,0）
A2（1,4）
B2（2,8）
C2（3,4）
D2（4,0）
连接如下图
所得图形还是字母A.
填写表3如下： 表3
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,2y）
O3（0,0）
A3（2,4）
B3（4,8）
C3（6,4）
D3（8,0）
连接如下图
得到的图形还是字母A.
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.
4.4 相似多边形
一、教学目标
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．
二、教学过程
1．探究相似多边形的定义
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？
(1)在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测．
(2)在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
2．观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？与同伴交流．
2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
(1)中的两个图形不相似．
因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例．虽然(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似．
(2)中的两个图形也不相似．
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似．
3．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如(2)中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等．
三、活动与探究
纸张的大小
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
解：(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变．
设纸的宽为a，长为a，则
BC＝a，BE＝a
AE＝a，ME＝
MF＝，HF＝a
LG＝a，LN＝
∴ ＝a∶a＝
＝ a∶＝
∶
a∶＝
所以这五个矩形的长与宽的比不改变．
(2)在这些矩形中有成比例的线段．
(3)这些大小不同的矩形都相似．
4.5 相似三角形
一、教学目标
1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
二、教学过程
1.相似三角形的定义及记法
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
2.（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=b
DF=EF=a，DE=a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.
［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
3.例题
1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是x cm，则
x=3.5×400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求
（1）∠AED和∠ADE的度数；
（2）DE的长.
解：（1）因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等，得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中，
∠AED+∠ADE+∠A=180°
即40°+∠ADE+45°=180°,
所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.
（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得
即
所以 DE==43.75（cm）.
4.6 探索三角形相似的条件
一、教学目标
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
二、教学过程
1.做一做.
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试。
2.例题.
（1）已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）已知一个三角形的两个角分别是70°和65°，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？
解：（1）在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′,∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
（2）先任作一条线段BC.
分别以BC为角的顶点，作∠MBC=70°，∠NCB=65°.
BM与CN相交于点A.
则△ABC为与原三角形相似的三角形.
三、课堂练习
1.在△ABC中，
∠A=70°，∠B=60°
∴∠C=50°
∴∠A=∠D，∠C=∠E.
∴△ABC∽△DFE.
2.∵DC∥AB
∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB.
∴△CDO∽△ABO.
3.∵AB⊥AO，DB⊥AB
∴∠A=∠B=90°
∵∠ACO=∠BCD
∴△ACO∽△BCD
∴
即
∴AO=100（m）
所以峡谷的宽AO为100 m.
4.如图.
AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？
解：图中相似三角形共有六对，它们分别是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC.
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°
（1）在△ADC与△BEC中
∵∠ADC=∠BEC=90°
∠C=∠C
∴△ADC∽ △BEC
（2）在△ADC与△AEF中
∵∠ADC=∠AEF=90°
∠DAC=∠EAF
∴△ADC∽△AEF
（3）在△BEC与△BDF中
∵∠BEC=∠BDF=90°
∠EBC=∠DBF
∴△BEC∽△BDF.
（4）在△BDF和△AEF中
∵∠BDF=∠AEF=90°，
∠BFD=∠AFE
∴△BDF∽△AEF.
（5）由△BEC∽△ADC得
∠DBF=∠DAC
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
（6）由△BEC∽△ADC，得
∠EBC=∠EAF
∵∠AEF=∠BEC
∴△AEF∽△BEC
4.7 测量旗杆的高度
一、教学目标
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验．
2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理．
二、教学过程
1.新课讲解
好，外边阳光明媚，天公做美，助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度．首先我们应该清楚测量原理．请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理．
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形，即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
方法2．
利用标杆． 当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H，于是得△DHF∽△DGC．
因为可以量得AE、AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB
由得GC＝
∴ 旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD．
方法3利用镜子的反射．
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵ △EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴ △EAD∽△EBC，测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC＝．
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性．
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论：
1．测量中允许有正常的误差．我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功．
2．方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．
3．大家一致认为方法一简单易行，是个好办法．
4．方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．
5．同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”．有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢！
三、课堂练习
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
图4-37
分析：画出上述示意图，即可发现：
△ABC∽△A′B′C′ 所以＝
于是得，BC＝＝16 (m)．
即该建筑物的高度是16 m．
4.8 相似多边形的性质
一、教学目标
1相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
2.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
3.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
二、教学过程
1.钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴= =
2.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
如图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
如下图中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，= =k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
如上图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60 cm,高AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.
解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：
四边形PQRS是正方形SR∥BC
（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长为x cm，则AE=（40－x）cm，
所以
解得：
x=24
所以，正方形PQRS的边长为24 cm.
三、课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
如下图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形.
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.
（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°
在△ADC和 △ACB中
∠ADC=∠ACB=90°
∠A=∠A
∴△ADC∽△ACB
同理可知，△CDB∽△ACB
∴△ADC∽△CDB
所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD
∴
即
∴BD=4 （cm）
（3）∵△CBD∽△ABC
∴.
∴
∴BD==9 （cm）.
4.9 图形的放大与缩小
一、教学目标
1.复习位似图形定义
2.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
二、教学过程
请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，看一看有几种方法？
橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.
主要是找比例线段得到的是相似图形，对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.
我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.
图（一）
图（二）
图（一）：在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形.
图（二）：在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形.
利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.
第一步：在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P.
第二步：以点P为端点向各关键点作射线.
第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.
第四步：顺次连接截取点.
即可得到符合要求的新图形.
简记方法:
1.选点
2.作射线
3.定对应点
4.连线
三、课堂练习
下列说法正确吗？为什么？
1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.
答案：正确
因为AD＜AB,AE＜AC
由△ABC∽△ADE得＜1
所以说△ADE是△ABC缩小后的图形.
如图所示.
2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：正确.
由已知得AD＞AB,AE＞AC
又∵△ABC∽△ADE
＞1
所以说△ADE是△ABC放大后的图形.
如图所示.
3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：不正确.也可能是缩小后的图形.
如图所示:
四、课后练习
三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.
解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D（1,1）, E（2,1）,F（3,2）后,顺次连结D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF.如图所示.
第五章 数据的收集与处理
5.1 每周干家务活的时间
一、教学目标：
1、 经历调查、收集数据的过程，感受抽样的必要性。
2、 了解普查、抽样调查、总体、个体、样本等概念，了解普查和抽样调查的应用，并选择合适的调查方法，解决有关现实问题。
3、 进一步发展统计意识，培养学生热爱劳动、勇于实践的优良品质。
二、教学过程：
1、活动与探究
同学们，你们每天在家都帮父母做家务活吗？主要做些什么呢？每周大约多长时间呢？
你们每周干家务活时间的平均数、中位数、众数是什么?
2、介绍新知识
（1）普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查。
（2）总体：所考察对象的全体。（如上述问题中的总体为“全班同学每周干家务活的平均时间的全体”，注意这里“考查对象”不是学生而是学生干家务活的时间。）
（3）个体：组成总体的每一个考察对象。（如上述问题中的个体为“全班每一个同学每周干家务活的平均时间”）
3、想一想
为了准确了解全国人口状况，我国每10年进行一次全国性人口普查，在这一事例中，你能说出总体、个体分别是什么吗？
5.2 数据的收集
一、教学目标
1.会采取合理的调查方法收集数据，并能对数据进行加工、整理.
2.进一步了解、掌握抽样调查与普查各自的优、缺点.
二、教学过程
1.例题讲解
为了了解你所在地区老年人的健康状况，你准备怎样收集数据？
下面分别是小明、小颖、小华三位同学的调查结果：
小明：在公园里调查了1000名老年人，他们一年中生病的次数如下表：
表（一）
比较一下上述两种表示各自的优越性.
小颖：在医院调查了1000名老年病人，他们一年中生病的次数如下表所示：
（表一）
比较一下小明与小颖所得数据的差别，是什么原因造成的？
小华：调查了10名老年邻居，他们一年中生病的次数如下表所示：
小明调查的对象选自公园里的老年人.常去公园里活动的老年人，平时一定注意身体的保健，一定注意修身、养性、加强体育锻炼，所以身体较健康.另一方面，公园建在城市里，相对于农村中的老年人去公园的较少.这1000人中不同文化程度，不同职业，城市和乡村等等不同层次的老人是否都有所选取.选取人数的比例是否合理，是否具有代表性与广泛性都是我们在收集数据中应该考虑的.所以，我认为小明收集的数据缺乏代表性和广泛性.
小颖收集的数据来自医院看病的1000名老年人.这部分人相对体质较弱.我认为用这些数据得到的调查结果不准确.因为收集的数据缺乏代表性和广泛性.
小华仅仅调查了10位老年人.因为样本太小了，所以不能据此推断某地区老年人的健康状况.
抽样调查应注意什么？
抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
在现实生活中，当我们所要考察的总体中包含的个体数很多，有时总体中个数较多且总体有明显差异的几个部分组成时，我们应注意抽出的样本就必须有较强的代表性.每个部分都应抽取到，而且应注意各部分的比例.广泛性是指总体中的每个个体均有被选的可能.
5.3 频数与频率（一）
一、教学目标
1.掌握频数、频率的概念.
2.会求一组数据的频数与频率.
二、教学过程
1.例题讲解
下面是小亮调查的八（1）班50位同学喜欢的足球明星，结果如下：
根据上面结果，你能很快说出该班同学最喜欢的足球明星吗？他的数据表示方式是什么？
你能设计出一个比较好的表示方式吗？
（二）
此种表示方式的优点是简单明了，一眼可以看出哪个最多、哪个最少.
我们小组采用如下方式表示数据.
此种表示方式的优点是直观，一目了然.不仅可以很快判断出哪个最多，哪个最少，还可比较出差别是否悬殊很大.
从上表可以看出，A、B、C、D出现的次数有的多，有的少，或者说它们出现的频繁程度不同.我们称每个对象出现的次数为频数（absolute,frequency）.而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率（relative frequency）.
分别计算A、B、C、D的频数与频率.
A的频数为23，A的频率为.
B的频数为8，B的频率为.
C的频数为13，C的频率为.
D的频数为6，D的频率为.
三、课堂练习
1.设计一个方案，了解你们班同学最喜欢的科目是哪科，为什么喜欢？
分析：先列表，再统计，调查探讨喜欢的原因.调查不爱学的那门科目的原因.（课后完成）
列表如下
科目
语文
数学
英语
历史
地理
政治
物理
美体
学生数
频数
频率
你还能用什么方式表示上表所收集数据的内容.
可以用上例中的图（三）表示的形式，这种图叫频数分布直方图，可不可以用频率分布来表示，如何表示。阅读（利用频率绘制的图）
2.议一议：
小明、小亮从同一本书中分别随机抽取了6页，在统计了1页、2页、3页、4页、5页、6页的“的”和“了”出现的次数后，分别求出了它们出现的频率，并绘制了下图
随着统计页数的增加，频率在0.05至0.06之间变化的字是“的”字.“了”字的频率在0.005至0.015之间变化。的使用的频率比了字高
3.做一做
（1）为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量.结果如下.（单位：厘米）
158 167 154 159 166 169 159
156 166 162 159 156 166 164
160 157 156 160 157 161 158
158 153 158 164 158 163 158
153 157 162 162 159 154 165
166 157 151 146 151 158 160
165 158 163 162 161 154 163
165 162 162 159 157 159 149
164 168 159 153
我们知道，这组数据的平均数，反映了这些学生的平均身高.但是，有时只知道这一点还不够，还希望知道身高在哪个范围内的学生多,在哪个小范围内的学生少，也就是说，希望知道这60名女学生的身高数据在各个小范围内所占的比的大小。
频率分布表
落在各个小组内的数据的个数叫做频数.
小结：整理数据时，可以按照下面的步骤进行.
（1）计算最大值与最小值的差.
（2）决定组距与组数.
（3）决定分点
（4）列频率分布表.
频数与频率（二）
一、教学目标
1.如何收集与处理数据.
2.会绘制频数分布直方图与频数分布折线图.
3.了解频数分布的意义，会得出一组数据的频数分布.
二、教学过程
1.如何收集与处理数据.
（1）首先通过确定调查目的，确定调查对象.
（2）收集有关数据.
（3）选择合理的数据表示方式统计数据.
（4）根据所收集的数据进行数据计算.根据特征数字，估计总体情况，设计可行的计划与方案，并不断实施与改进方案.
2.例题
你能否帮卖雪糕的李大爷设计一种方案，确定各种牌子的雪糕应进多少？
首先应开展调查.统计一下李大爷每天卖出的A、B、C、D、E五个牌子雪糕的数量。
这是小丽统计的最近一个星期李大爷平均每天能卖出的A、B、C、D、E五个牌子雪糕的数量。
雪糕 数量 频数 频率
A 131 131 0.253
B 182 182 0.351
C 68 68 0.131
D 39 39 0.075
E 98 98 0.190
合计 518 518 1.000
根据上表绘制一张频数分布直方图.（如下）
根据小丽的统计结果，为李大爷设计一个进货方案，A、B两种雪糕卖出的较多，可以多进些，D种雪糕卖出的少，可以少进些。A占总数的25%，B占总数的35%，C占总数的13%，D占总数的8%，E占总数的19%.
确定进货的总数，还应考虑，当天气温情况，天气凉，气温低时少进货.天气热，气温高时多进货，即进雪糕总数应考虑当天气温变化.不能每天都进518支雪糕。
3.做一做
［例］学校要为同学们订制校服，为此小明调查了他们班50名同学的身高，结果（单位 cm）.如下：
141 165 144 171 145 145 158
150 157 150 154 168 168 155
155 169 157 157 157 158 149
150 150 160 152 152 159 152
159 144 154 155 157 145 160
160 160 158 162 155 162 163
155 163 148 163 168 155 145
172
填写下表，并将上述数据用适当的统计图表示出来.
5.4 数据的波动
一、教学目标
1．经历通过数据离散程度表示数据波动的探索过程.
2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用．
3．通过实例体会用样本估计总体的思想．
二、教学过程
1．极差
实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离情况．
极差就是刻画数据离散程度的一个统计量．
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
2．方差与标准差
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2=……
标准差是方差的算术平方根．
一般而言，一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定．方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2=……
例1 已知两组数据：
甲 9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙 10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差与极差．
于是，
s2甲＝［（9.9－10）2＋（10.3－10）2＋…＋（9.7－10）2］
＝（0.01＋0.09＋…＋0.09）
＝×0.44＝0.055；
s2乙＝［（10.2－10）2＋（10－10）2＋…＋（10.1－10）2］
＝（0.04＋0＋…＋0.01）
＝×0.84＝0.105
极差：甲的极差:10.4－9.7＝0.7 乙的极差：10.5－9.5＝1
由方差与极差可以看出甲组数据比乙组数据波动小．
例2
甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均字数
甲班
55
149
191
135
乙班
55
151
110
135
（1）根据上表分析甲、乙两班学生成绩的平均水平；
（2）根据上表分析甲、乙两班优秀的人数并进行比较（每分钟输入汉字数≥150个为 优秀）；
（3）根据上表分析甲、乙两班的成绩哪个更稳定？谁的波动大？
解：（1）平均水平相同．
（2）甲班优秀的人数少于一半，而乙班的优秀人数多于一半．
（3）乙班更稳定，甲班的波动大．
三、课堂练习
迁移
运用本节内容解决下面问题：
甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
解：甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
解：s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
解：乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀．
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
解：选甲去，甲比乙更有可能达到98分．
发散
本节课用到了平均数、中位数、众数等概念，你还记得吗？
1．平均数：＝（x1＋x2＋…＋xn）
2．中位数：把一组数据从小到大排列、中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．
3．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫这组数据的众数．
第六章 证明（一）
6.1 你能肯定吗
一、教学目标
1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.
2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
二、教学过程
1.在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？
下面我们来动手画一画，然后归纳、总结。
如上图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？
画出四边形ABCD，找到四边形的中点E、F、G、H后，量了量四边形EFGH的边发现：EF=GH，EH=GF.角∠EHG=∠EFG，∠HEF=∠HGF.
由此说明：四边形EFGH是平行四边形.
如果改变四边形ABCD的形状，你还能得到类似的结论吗？
改变了四边形ABCD的形状后，它们四边的中点所围成的四边形EFGH仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形EFGH是平行四边形.
在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：可以连接AC，也可以连接BD.把四边形ABCD变为△ABC与△ADC或△ABD与△BDC.
现在我们来连接AC。如上图
在△ABC中，EF是△ABC的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：EF平行于AC且等于AC的一半.
同样，在△ADC中，GH是△ADC的中位线，则GH平行于AC且等于AC的一半.
由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：EF∥GH.又因为：EF=AC，GH=AC，所以得EF=GH.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.可以得到：四边形EFGH是平行四边形.
即：连接AC
刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.
注：本题连接BD与连接AC的推理过程一样.
通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.
2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数？
当n=0时，n2－n+11=11.
当n=1时，n2－n+11=11.
当n=2时，n2－n+11=13.
当n=3时，n2－n+11=17.
当n=4时，n2－n+11=23.
当n=5时，n2－n+11=31.
由此可知：当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值都是质数.
这样我们就可以得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数.
6.2 定义与命题
定义与命题（一）
一、教学目标
1.定义的意义
2.命题的概念
二、教学过程
1.讲授新课
“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.
“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.
“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.
“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.
……
定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.
图6－6
如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；
如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；
如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；
……
如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？
如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染。
如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的。
如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染。
如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的。
如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.。
如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。
……
在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.
即：命题是判断一件事情的句子.如：
熊猫没有翅膀.
对顶角相等.
两直线平行，内错角相等.
无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.
内错角相等.
任意一个三角形都有一个直角.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
全等三角形的对应角相等.
……
三、课堂练习
1.你能列举出一些命题吗？
答案：举例略.
2.举出一些不是命题的语句.
答案：如：①画线段AB=3 cm.
②两条直线相交，有几个交点？
③等于同一个角的两个角相等吗？
④在射线OA上，任取两点B、C.等等.
6.3 为什么他们平行
一、教学目标
1.平行线的判定公理.
2.平行线的判定定理.
二、教学过程
1.讲授新课
看命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
如上图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.
要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3.
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）
［∵∠1+∠2=180°］
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］
∴∠1=∠3（等量代换）
［∵∠1=∠3］
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写成：
同旁内角互补，两直线平行.
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.
（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
例1 已知，如上图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠2与∠3互补（互补的定义）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
这一定理可以简单说成：
内错角相等，两直线平行.
例2 已知，如下图，直线a⊥c,b⊥c.
求证：a∥b.
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.
三、课堂练习
蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.
解：这三个四边形的形状是平行四边形.
理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）
∴∠α+∠β=180°（等式的性质）
∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）
5.4 如果两条直线平行
一、教学目标
1.平行线的性质定理的证明.
2.证明的一般步骤.
二、教学过程
1.讲授新课
在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：
两直线平行，同位角相等.
例 已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
图6－25
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.
三、课堂练习
补充练习
1.证明邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图6－25，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90°
∴OE⊥OF（垂直的定义）
2.已知，如上图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证法二：如上图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
证法三：如上图，连接BD（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
5.5 三角形内角和定理的证明
一、教学目标
三角形的内角和定理的证明.
二、教学过程
工人师傅将凹型零件加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角.
图1 图2 图3
为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？
1.讲授新课
为了回答这个问题，先观察如下的实验
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°，三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的，三角形的最大内角不会大于或等于180°。
当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.
（1） （2） （3） （4）
实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.
这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE能重合吗？
因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA，所以能重合。
这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.
证1 已知，如图6－40，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
证2 证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
三、课堂练习
1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.
答案：90° 60°
如图6－44，在△ABC中，∠C=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=90°.
如上图，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
2.如上图,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
5.6 关注三角形的外角
一、教学目标
1.三角形的外角的概念.
2.三角形的内角和定理的两个推论.
二、教学过程
1.下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.
已知，如上图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.
则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
2.那什么叫三角形的外角呢？
像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
外角的特征有三条：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.
（2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.
如上图，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？
∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.
∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得： ∠1=∠2+∠3.
因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
例1 已知，如上图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.
要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？
例2 已知，如上图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.
一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（已知）
∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.
三、.课堂练习
1.已知，如上图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.
解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠DCA=100°,∠A=45°（已知）
∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）
∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）
∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）
∵∠DCA=100°（已知）
∴∠ACB=80°（等量代换）
本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2.如下图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
证法一：（1）连接AD，并延长AD，如上图则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如下图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）
即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）
如果点D在线段BC的另一侧，如上图，则有
∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
目录
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1 不等关系
2 不等式的基本性质
3 不等式的解集
4 一元一次不等式
5 一元一次不等式与一次函数
6 一元一次不等式组
第二章 分解因式
1 分解因式
2 提公因式法
3 运用公式法
第三章 分式
1 分式
2 分式的乘除法
3 分式的加减法
4 分式方程
第四章 相似图形
1 线段的比
2 黄金分割
3 形状相同的图形
4 相似多边形
5 相似三角形
6 探索三角形相似的条件
7 测量旗杆的高度
8 相似多边形的性质
9 图形的放大与缩小
第五章 数据的收集与处理
1 每周干家务活的时间
2 数据的收集
3 频数与频率
4 数据的波动
第六章 证明（一）
1 你能肯定吗
2 定义与命题
3 为什么他们平行
4 如果两条直线平行
5 三角形内角和定理的证明
6 关注三角形的外角
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1.1 不等关系
一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：
如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？
（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？
（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？
（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）² 。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是
（L/4）²≤25，
即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是
π（L/2π）²＞100
即 L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为
8²/4π≈5.1，
4＜5.1
此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为
12²/4π≈11.5，
9＜11.5，
此时还是圆的面积大。
教师得出结论
（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
L²/4π＞L²/16。
三、 随堂练习
1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系
（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；
（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质
一、教学目标
（1）探索并掌握不等式的基本性质；
（2）理解不等式与等式性质的联系与区别.
二、教学内容
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
1.不等式基本性质的推导
例∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
例：3＜4
3×3＜4×3
3×＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－）
3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
三、课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2 （2）－x＜
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6;
（2）3x＜3y;
（3）－2x＜－2y.
解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.
∴不等式不成立；
（2）∵x＞y,∴3x＞3y
∴不等式不成立；
（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y
∴不等式一定成立.
4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1;
（3）x＞5;（4）－4x＞3.
5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3 b－3;（2） ;
（3）－4a －4b;（4）5a 5b;
（5）当a＞0,b 0时，ab＞0;
（6）当a＞0,b 0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b 0时，ab＞0;
（8）当a＜0,b 0时，ab＜0.
参考答案：
4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－.
5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.
1.3 不等式的解集
一、教学目标
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
二、教学过程
1.现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞.
解：设导火线的长度应为x cm，根据题意，得
＞
∴x＞5.
2.想一想
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.
（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.
3.例题讲解
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2
在数轴上表示为：
（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4
在数轴上表示为：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8
根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4
在数轴上表示为：
三、课堂练习
1.判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解；
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4;（2）x≤－1;
（3）x≥－2;（4）x≤6.
1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1
∴x－1＞0有无数个解.∴正确.
（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,
∴x≤,∴结论错误.
2.解：
1.4 一元一次不等式
一、教学目标
1.知道什么是一元一次不等式？
2.会解一元一次不等式.
二、一元一次不等式的定义.
下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240;
（3）x＜－4;（4）＞1.
答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.
（4）为什么不是呢？
因为x在分母中，不是整式.
不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.
2.一元一次不等式的解法.
例1 解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得
3＜3x+6
两边都加上－6,得
3－6＜3x+6－6
合并同类项，得
－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.
［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）
去括号，得3x－6≥14－2x
移项，合并同类项，得5x≥20
两边都除以5，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
三、课堂练习
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0;
（3）＜;
（4）－1＜.
解：（1）两边同时除以5，得x＞－2.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）移项，得－3x≤－12,
两边都除以－3，得x≥4,
这个不等式的解集在数轴上表示为：
（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,
去括号，得3x－3＜8x－10,
移项、合并同类项，得5x＞7,
两边都除以5，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示为：
（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,
移项、合并同类项，得2x＞3,
两边都除以2，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示如下：
1.5 一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
二、教学过程
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=,
∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
3.试一试
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.
三、课堂练习
1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
解：如图1－24所示：
当x取小于的值时，有y1＞y2.
2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.
解：图象如下：
分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.
［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0;
（2）当x＜4时，－2x+8＞0;
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.
（4）由2x－4=0,得x=2;
由－2x+8=0,得x=4
所以AB=4－2=2
由
得交点C（3，2）
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=×2×2=2.
3.分别解不等式
5x－1＞3（x+1）,
x－1＜7－x
所得的两个解集的公共部分是什么？
解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2
解不等式x－1＜7－ x，得x＜4,
所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，
根据题意，得
y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,
y2=30%x－700=0.3x－700.
（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;
（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;
（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.
所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.
5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
解：（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,
把（2，6）代入得，k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=－,b=
∴y2=－x+
（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的.
1.6 一元一次不等式组
一、教学目标
总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
二、教学过程
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？
解：
设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得
4（x+5）>100, （1）
且 4（x-5）<68. （2）
未知数x同时满足 （1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作 4（x+5）>100,
4（x-5）<68.
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。
解下列不等式组
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
解：解不等式（1），得x＞1
解不等式（2），得x＞－4.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集是x＞1
（2）
解：解不等式（1），得x＜
解不等式（2），得x＜
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如下图
所以，原不等式组的解集是x＜
（3）
解：解不等式（1），得x＞
解不等式（2），得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为＜x≤4.
（4）
解：解不等式（1），得x＞4.
解不等式（2），得x＜3.
在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集为无解.
我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.
（1）由得x＞1;
（2）由;
（3）由得＜x≤4;
（4）由得，无解.
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b;
（2）不等式组的解集是x＜a;
（3）不等式组的解集是a＜x＜b;
（4）不等式组的解集是无解.
用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；
大于小数小于大数取中间；
大于大数小于小数无解.
三、课堂练习
解下列不等式组
（1）
（2）
［解］（1）
解不等式（1），得x＜2
解不等式（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，
所以，原不等式组无解.
（2）
解：解不等式（1），得x＞2
解不等式（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为x＞3.
第二章 分解因式
2.1 分解因式
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
二、教学过程
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.
解法一：S=× + × + × =++=2
解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;
（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
三、课堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （m）
（2）4kx－8ky （4k）
（3）5y3+20y2 （5y2）
（4）a2b－2ab2+ab （ab）
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
四、课后作业
1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;
（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;
（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;
（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;
（5）－24x2y－12xy2+28y3
=－（24x2y+12xy2－28y3）
=－4y（6x2+3xy－7y2）;
（6）－4a3b3+6a2b－2ab
=－（4a3b3－6a2b+2ab）
=－2ab（2a2b2－3a+1）;
（7）－2x2－12xy2+8xy3
=－（2x2+12xy2－8xy3）
=－2x（x+6y2－4y3）;
（8）－3ma3+6ma2－12ma
=－（3ma3－6ma2+12ma）
=－3ma（a2－2a+4）;
2.利用因式分解进行计算
（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1
=12.1×（1.3+0.9－1.2）
=12.1×1=12.1
（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4
=13.2×（2.34+0.66－2）
=13.2×1=13.2
（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π（R12+R22+R32）
=3.14×（202+162+122）
=2512
2.2 提公因式法
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
例1 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
解：（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
解：（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）（2x－2y+3）;
（6）mn（m－n）－m（n－m）2
=mn（m－n）－m（m－n）2
=m（m－n）［n－（m－n）］
=m（m－n）（2n－m）.
补充练习
把下列各式分解因式
解：1.5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）3+10（x－y）2
=5（x－y）2［（x－y）+2］
=5（x－y）2（x－y+2）;
2. m（a－b）－n（b－a）
=m（a－b）+n（a－b）
=（a－b）（m+n）;
3. m（m－n）+n（n－m）
=m（m－n）－n（m－n）
=（m－n）（m－n）=（m－n）2;
4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）
= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）
=（m－n）（p－q）（m +n）;
5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）
=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）
=（b－a）［（b－a）－a+b］
=（b－a）（b－a－a+b）
=（b－a）（2b－2a）
=2（b－a）（b－a）
=2（b－a）2
2.3运用公式法（一）
一、教学目标
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
二、教学过程
1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.
利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
观察式子a2－b2,找出它的特点.
答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2
=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
三、课堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式
解：（1）a2b2－m2
=（ab）2－m 2
=（ab+ m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：剩余部分的面积为10.4 cm2.
四、课后作业
1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;
（2）36－x2=（6+x）（6－x）;
（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;
（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;
（5）0.25q2－121p2
=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;
（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;
（7）9a2p2－b2q2
=（3ap+bq）（3ap－bq）;
（8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）;
2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;
（2）49（a－b）2－16（a+b）2
=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2
=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］
=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）
=（11a－3b）（3a－11b）;
（3）（2x+y）2－（x+2y）2
=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］
=（3x+3y）（x－y）
=3（x+y）（x－y）;
（4）（x2+y2）－x2y2
=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;
（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）
=3a（x+y2）（x－y2）
（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）
=（p2+1）（p+1）（p－1）.
3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）
=π（R+r）（R－r）
当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，
S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）
答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
运用公式法（二）
一、教学目标
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
二、教学过程
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
三、新课
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
1.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
四、课堂练习
1.（1）是完全平方式
x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
m2+3 m n+9n2
=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2
=（ m +3n）2
（4）不是完全平方式
2.（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2
五、课后作业
1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）y2+y+=（y+）2;
（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;
（5）+xy+y2=（+y）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］2
=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3
=y（4xy－4x2－y2）
=－y（4x2－4xy+y2）
=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
第三章 分式
3.1 分式
一、教学目标
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
二、教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）
这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）
在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
原计划完成一期工程需个月，
实际完成一期工程需c个月，
根据等量关系（1）可列出方程：
+4=.
用等量关系（2）设未知数，列方程呢？
因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.
同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？
我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.
像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
2.例题讲解
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x－7,3x2－1,,,－5,,,.
（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.
②当a为何值时，分式有意义？
③当a为何值时，分式的值为零？
（1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式.
（2）解：①当a=1时，==1;
当a=2时，==.
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a=0，得a=0.
所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.
③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：
所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零.
三、随堂练习
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）;（3）
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.
3.2 分式的乘除法
一、教学目标
1.分式乘除法的运算法则，
2.会进行分式的乘除法的运算.
二、教学过程
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=.
猜一猜×=? ÷=?
观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.
即×=;
÷=×=.
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零.
1.分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
2.例题讲解
［例1］计算：
（1）·;（2）·.
分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
解：（1）·=
==;
（2）·
==.
［例2］计算：
（1）3xy2÷;（2）÷
分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
解：（1）3xy2÷=3xy2·
==x2;
（2）÷
=×
=
=
=
3.做一做
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3;
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3.
（3）我认为买大西瓜合算.
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算.
三、随堂练习
1.计算：（1）·;（2）（a2－a）÷;（3）÷
2.化简：
（1）÷;
（2）（ab－b2）÷
解：1.（1）·===;
（2）（a2－a）÷=（a2－a）×
==（a－1）2
=a2－2a+1
（3）÷=×
==（x－1）y=xy－y.
2.（1）÷
=×
=
=（x－2）（x+2）=x2－4.
（2）（ab－b2）÷
=（ab－b2）×=
=b.
3.3 分式的加减法
一、教学目标
1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.
2.简单的异分母的分式相加减的运算.
二、教学过程
问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?
（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？
答案：问题一，根据题意可得下列线段图：
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.
（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.
如果要比较（+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.
比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b.
如果a－b＞0，则a＞b;
如果a－b=0,则a=b；
如果a－b＜0,则a＜b.
显然（+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.
如果用作差的方法，例如（+）－，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？
做一做
（1）+=____________.
（2）－=____________.
（3）－+=____________.
同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如+－==－.
我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.
解：（1）+==;
解：（2）－=;
解：（3）－+
=
=
=
异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法
［例1］计算：
（1）+;（2）+
［例1］中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式化成=即可.
解：（1）+=+
===;
（2）+=+
==
三、计算：
（1）－;
（2）+;
（3）－
解：（1）－==;
（2）+=+==;
（3）－=－
==.
3.4 分式方程
一、教学目标
1.了解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
二、教学过程
解方程+=2－
（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.
（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x=13,
（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.
例1 解方程：－=4
解：方程两边同乘以2x，得
600－480=8x
解这个方程，得x=15
检验：将x=15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.
例2 .解方程：
（1）=;（2）+=2.
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：（1）=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
（2）+=2
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得x=
检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.
所以原方程的根为x=.
第四章 相似图形
4.1 线段的比
一、教学目标
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
3.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.
二、教学过程
1.两条线段的比的概念
两条线段的比就是两条线段长度的比.
比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
不对，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2..例题
在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得
因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm）,
144000 cm=1440 m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000 cm=900 m.
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现：
三、随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
解：根据题意，得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此，矩形运动场的长是
2×8000=16000（cm）=160（m）
矩形运动场的宽是
1×8000=8000（cm）=80（m）
所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.
四、活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.
解：方案（1）：
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）
∴
解得：a=
方案（2）：
由（*）得
∴x=,a=
方案（3）：
由（*）得
∴y=
且 ∴z=
由=a 得a=
方案（4）：
由（*）得
∴b=
n=1－ m=a2－1
∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1
∴a=（负值舍去）
4.2 黄金分割
一、教学目标
明白黄金分割
二、教学过程
如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果=那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
4.3 形状相同的图形
一、教学目标
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
二、教学过程
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
三、课堂练习
1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形
（2）填表1如下：
表1
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,y）
O1（0,0）
A1（2,2）
B1（4,4）
C1（6,2）
D1（8,0）
分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（x,2y）
O2（0,0）
A2（1,4）
B2（2,8）
C2（3,4）
D2（4,0）
连接如下图
所得图形还是字母A.
填写表3如下： 表3
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,2y）
O3（0,0）
A3（2,4）
B3（4,8）
C3（6,4）
D3（8,0）
连接如下图
得到的图形还是字母A.
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.
4.4 相似多边形
一、教学目标
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．
二、教学过程
1．探究相似多边形的定义
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？
(1)在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测．
(2)在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
2．观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？与同伴交流．
2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
(1)中的两个图形不相似．
因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例．虽然(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似．
(2)中的两个图形也不相似．
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似．
3．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如(2)中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等．
三、活动与探究
纸张的大小
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
解：(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变．
设纸的宽为a，长为a，则
BC＝a，BE＝a
AE＝a，ME＝
MF＝，HF＝a
LG＝a，LN＝
∴ ＝a∶a＝
＝ a∶＝
∶
a∶＝
所以这五个矩形的长与宽的比不改变．
(2)在这些矩形中有成比例的线段．
(3)这些大小不同的矩形都相似．
4.5 相似三角形
一、教学目标
1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
二、教学过程
1.相似三角形的定义及记法
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
2.（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=b
DF=EF=a，DE=a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.
［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
3.例题
1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是x cm，则
x=3.5×400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求
（1）∠AED和∠ADE的度数；
（2）DE的长.
解：（1）因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等，得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中，
∠AED+∠ADE+∠A=180°
即40°+∠ADE+45°=180°,
所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.
（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得
即
所以 DE==43.75（cm）.
4.6 探索三角形相似的条件
一、教学目标
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
二、教学过程
1.做一做.
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试。
2.例题.
（1）已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）已知一个三角形的两个角分别是70°和65°，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？
解：（1）在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′,∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
（2）先任作一条线段BC.
分别以BC为角的顶点，作∠MBC=70°，∠NCB=65°.
BM与CN相交于点A.
则△ABC为与原三角形相似的三角形.
三、课堂练习
1.在△ABC中，
∠A=70°，∠B=60°
∴∠C=50°
∴∠A=∠D，∠C=∠E.
∴△ABC∽△DFE.
2.∵DC∥AB
∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB.
∴△CDO∽△ABO.
3.∵AB⊥AO，DB⊥AB
∴∠A=∠B=90°
∵∠ACO=∠BCD
∴△ACO∽△BCD
∴
即
∴AO=100（m）
所以峡谷的宽AO为100 m.
4.如图.
AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？
解：图中相似三角形共有六对，它们分别是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC.
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°
（1）在△ADC与△BEC中
∵∠ADC=∠BEC=90°
∠C=∠C
∴△ADC∽ △BEC
（2）在△ADC与△AEF中
∵∠ADC=∠AEF=90°
∠DAC=∠EAF
∴△ADC∽△AEF
（3）在△BEC与△BDF中
∵∠BEC=∠BDF=90°
∠EBC=∠DBF
∴△BEC∽△BDF.
（4）在△BDF和△AEF中
∵∠BDF=∠AEF=90°，
∠BFD=∠AFE
∴△BDF∽△AEF.
（5）由△BEC∽△ADC得
∠DBF=∠DAC
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
（6）由△BEC∽△ADC，得
∠EBC=∠EAF
∵∠AEF=∠BEC
∴△AEF∽△BEC
4.7 测量旗杆的高度
一、教学目标
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验．
2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理．
二、教学过程
1.新课讲解
好，外边阳光明媚，天公做美，助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度．首先我们应该清楚测量原理．请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理．
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形，即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
方法2．
利用标杆． 当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H，于是得△DHF∽△DGC．
因为可以量得AE、AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB
由得GC＝
∴ 旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD．
方法3利用镜子的反射．
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵ △EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴ △EAD∽△EBC，测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC＝．
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性．
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论：
1．测量中允许有正常的误差．我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功．
2．方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．
3．大家一致认为方法一简单易行，是个好办法．
4．方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．
5．同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”．有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢！
三、课堂练习
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
图4-37
分析：画出上述示意图，即可发现：
△ABC∽△A′B′C′ 所以＝
于是得，BC＝＝16 (m)．
即该建筑物的高度是16 m．
4.8 相似多边形的性质
一、教学目标
1相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
2.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
3.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
二、教学过程
1.钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴= =
2.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
如图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
如下图中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，= =k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
如上图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60 cm,高AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.
解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：
四边形PQRS是正方形SR∥BC
（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长为x cm，则AE=（40－x）cm，
所以
解得：
x=24
所以，正方形PQRS的边长为24 cm.
三、课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
如下图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形.
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.
（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°
在△ADC和 △ACB中
∠ADC=∠ACB=90°
∠A=∠A
∴△ADC∽△ACB
同理可知，△CDB∽△ACB
∴△ADC∽△CDB
所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD
∴
即
∴BD=4 （cm）
（3）∵△CBD∽△ABC
∴.
∴
∴BD==9 （cm）.
4.9 图形的放大与缩小
一、教学目标
1.复习位似图形定义
2.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
二、教学过程
请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，看一看有几种方法？
橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.
主要是找比例线段得到的是相似图形，对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.
我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.
图（一）
图（二）
图（一）：在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形.
图（二）：在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形.
利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.
第一步：在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P.
第二步：以点P为端点向各关键点作射线.
第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.
第四步：顺次连接截取点.
即可得到符合要求的新图形.
简记方法:
1.选点
2.作射线
3.定对应点
4.连线
三、课堂练习
下列说法正确吗？为什么？
1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.
答案：正确
因为AD＜AB,AE＜AC
由△ABC∽△ADE得＜1
所以说△ADE是△ABC缩小后的图形.
如图所示.
2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：正确.
由已知得AD＞AB,AE＞AC
又∵△ABC∽△ADE
＞1
所以说△ADE是△ABC放大后的图形.
如图所示.
3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：不正确.也可能是缩小后的图形.
如图所示:
四、课后练习
三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.
解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D（1,1）, E（2,1）,F（3,2）后,顺次连结D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF.如图所示.
第五章 数据的收集与处理
5.1 每周干家务活的时间
一、教学目标：
1、 经历调查、收集数据的过程，感受抽样的必要性。
2、 了解普查、抽样调查、总体、个体、样本等概念，了解普查和抽样调查的应用，并选择合适的调查方法，解决有关现实问题。
3、 进一步发展统计意识，培养学生热爱劳动、勇于实践的优良品质。
二、教学过程：
1、活动与探究
同学们，你们每天在家都帮父母做家务活吗？主要做些什么呢？每周大约多长时间呢？
你们每周干家务活时间的平均数、中位数、众数是什么?
2、介绍新知识
（1）普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查。
（2）总体：所考察对象的全体。（如上述问题中的总体为“全班同学每周干家务活的平均时间的全体”，注意这里“考查对象”不是学生而是学生干家务活的时间。）
（3）个体：组成总体的每一个考察对象。（如上述问题中的个体为“全班每一个同学每周干家务活的平均时间”）
3、想一想
为了准确了解全国人口状况，我国每10年进行一次全国性人口普查，在这一事例中，你能说出总体、个体分别是什么吗？
5.2 数据的收集
一、教学目标
1.会采取合理的调查方法收集数据，并能对数据进行加工、整理.
2.进一步了解、掌握抽样调查与普查各自的优、缺点.
二、教学过程
1.例题讲解
为了了解你所在地区老年人的健康状况，你准备怎样收集数据？
下面分别是小明、小颖、小华三位同学的调查结果：
小明：在公园里调查了1000名老年人，他们一年中生病的次数如下表：
表（一）
比较一下上述两种表示各自的优越性.
小颖：在医院调查了1000名老年病人，他们一年中生病的次数如下表所示：
（表一）
比较一下小明与小颖所得数据的差别，是什么原因造成的？
小华：调查了10名老年邻居，他们一年中生病的次数如下表所示：
小明调查的对象选自公园里的老年人.常去公园里活动的老年人，平时一定注意身体的保健，一定注意修身、养性、加强体育锻炼，所以身体较健康.另一方面，公园建在城市里，相对于农村中的老年人去公园的较少.这1000人中不同文化程度，不同职业，城市和乡村等等不同层次的老人是否都有所选取.选取人数的比例是否合理，是否具有代表性与广泛性都是我们在收集数据中应该考虑的.所以，我认为小明收集的数据缺乏代表性和广泛性.
小颖收集的数据来自医院看病的1000名老年人.这部分人相对体质较弱.我认为用这些数据得到的调查结果不准确.因为收集的数据缺乏代表性和广泛性.
小华仅仅调查了10位老年人.因为样本太小了，所以不能据此推断某地区老年人的健康状况.
抽样调查应注意什么？
抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
在现实生活中，当我们所要考察的总体中包含的个体数很多，有时总体中个数较多且总体有明显差异的几个部分组成时，我们应注意抽出的样本就必须有较强的代表性.每个部分都应抽取到，而且应注意各部分的比例.广泛性是指总体中的每个个体均有被选的可能.
5.3 频数与频率（一）
一、教学目标
1.掌握频数、频率的概念.
2.会求一组数据的频数与频率.
二、教学过程
1.例题讲解
下面是小亮调查的八（1）班50位同学喜欢的足球明星，结果如下：
根据上面结果，你能很快说出该班同学最喜欢的足球明星吗？他的数据表示方式是什么？
你能设计出一个比较好的表示方式吗？
（二）
此种表示方式的优点是简单明了，一眼可以看出哪个最多、哪个最少.
我们小组采用如下方式表示数据.
此种表示方式的优点是直观，一目了然.不仅可以很快判断出哪个最多，哪个最少，还可比较出差别是否悬殊很大.
从上表可以看出，A、B、C、D出现的次数有的多，有的少，或者说它们出现的频繁程度不同.我们称每个对象出现的次数为频数（absolute,frequency）.而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率（relative frequency）.
分别计算A、B、C、D的频数与频率.
A的频数为23，A的频率为.
B的频数为8，B的频率为.
C的频数为13，C的频率为.
D的频数为6，D的频率为.
三、课堂练习
1.设计一个方案，了解你们班同学最喜欢的科目是哪科，为什么喜欢？
分析：先列表，再统计，调查探讨喜欢的原因.调查不爱学的那门科目的原因.（课后完成）
列表如下
科目
语文
数学
英语
历史
地理
政治
物理
美体
学生数
频数
频率
你还能用什么方式表示上表所收集数据的内容.
可以用上例中的图（三）表示的形式，这种图叫频数分布直方图，可不可以用频率分布来表示，如何表示。阅读（利用频率绘制的图）
2.议一议：
小明、小亮从同一本书中分别随机抽取了6页，在统计了1页、2页、3页、4页、5页、6页的“的”和“了”出现的次数后，分别求出了它们出现的频率，并绘制了下图
随着统计页数的增加，频率在0.05至0.06之间变化的字是“的”字.“了”字的频率在0.005至0.015之间变化。的使用的频率比了字高
3.做一做
（1）为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量.结果如下.（单位：厘米）
158 167 154 159 166 169 159
156 166 162 159 156 166 164
160 157 156 160 157 161 158
158 153 158 164 158 163 158
153 157 162 162 159 154 165
166 157 151 146 151 158 160
165 158 163 162 161 154 163
165 162 162 159 157 159 149
164 168 159 153
我们知道，这组数据的平均数，反映了这些学生的平均身高.但是，有时只知道这一点还不够，还希望知道身高在哪个范围内的学生多,在哪个小范围内的学生少，也就是说，希望知道这60名女学生的身高数据在各个小范围内所占的比的大小。
频率分布表
落在各个小组内的数据的个数叫做频数.
小结：整理数据时，可以按照下面的步骤进行.
（1）计算最大值与最小值的差.
（2）决定组距与组数.
（3）决定分点
（4）列频率分布表.
频数与频率（二）
一、教学目标
1.如何收集与处理数据.
2.会绘制频数分布直方图与频数分布折线图.
3.了解频数分布的意义，会得出一组数据的频数分布.
二、教学过程
1.如何收集与处理数据.
（1）首先通过确定调查目的，确定调查对象.
（2）收集有关数据.
（3）选择合理的数据表示方式统计数据.
（4）根据所收集的数据进行数据计算.根据特征数字，估计总体情况，设计可行的计划与方案，并不断实施与改进方案.
2.例题
你能否帮卖雪糕的李大爷设计一种方案，确定各种牌子的雪糕应进多少？
首先应开展调查.统计一下李大爷每天卖出的A、B、C、D、E五个牌子雪糕的数量。
这是小丽统计的最近一个星期李大爷平均每天能卖出的A、B、C、D、E五个牌子雪糕的数量。
雪糕 数量 频数 频率
A 131 131 0.253
B 182 182 0.351
C 68 68 0.131
D 39 39 0.075
E 98 98 0.190
合计 518 518 1.000
根据上表绘制一张频数分布直方图.（如下）
根据小丽的统计结果，为李大爷设计一个进货方案，A、B两种雪糕卖出的较多，可以多进些，D种雪糕卖出的少，可以少进些。A占总数的25%，B占总数的35%，C占总数的13%，D占总数的8%，E占总数的19%.
确定进货的总数，还应考虑，当天气温情况，天气凉，气温低时少进货.天气热，气温高时多进货，即进雪糕总数应考虑当天气温变化.不能每天都进518支雪糕。
3.做一做
［例］学校要为同学们订制校服，为此小明调查了他们班50名同学的身高，结果（单位 cm）.如下：
141 165 144 171 145 145 158
150 157 150 154 168 168 155
155 169 157 157 157 158 149
150 150 160 152 152 159 152
159 144 154 155 157 145 160
160 160 158 162 155 162 163
155 163 148 163 168 155 145
172
填写下表，并将上述数据用适当的统计图表示出来.
5.4 数据的波动
一、教学目标
1．经历通过数据离散程度表示数据波动的探索过程.
2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用．
3．通过实例体会用样本估计总体的思想．
二、教学过程
1．极差
实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离情况．
极差就是刻画数据离散程度的一个统计量．
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
2．方差与标准差
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2=……
标准差是方差的算术平方根．
一般而言，一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定．方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2=……
例1 已知两组数据：
甲 9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙 10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差与极差．
于是，
s2甲＝［（9.9－10）2＋（10.3－10）2＋…＋（9.7－10）2］
＝（0.01＋0.09＋…＋0.09）
＝×0.44＝0.055；
s2乙＝［（10.2－10）2＋（10－10）2＋…＋（10.1－10）2］
＝（0.04＋0＋…＋0.01）
＝×0.84＝0.105
极差：甲的极差:10.4－9.7＝0.7 乙的极差：10.5－9.5＝1
由方差与极差可以看出甲组数据比乙组数据波动小．
例2
甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均字数
甲班
55
149
191
135
乙班
55
151
110
135
（1）根据上表分析甲、乙两班学生成绩的平均水平；
（2）根据上表分析甲、乙两班优秀的人数并进行比较（每分钟输入汉字数≥150个为 优秀）；
（3）根据上表分析甲、乙两班的成绩哪个更稳定？谁的波动大？
解：（1）平均水平相同．
（2）甲班优秀的人数少于一半，而乙班的优秀人数多于一半．
（3）乙班更稳定，甲班的波动大．
三、课堂练习
迁移
运用本节内容解决下面问题：
甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
解：甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
解：s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
解：乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀．
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
解：选甲去，甲比乙更有可能达到98分．
发散
本节课用到了平均数、中位数、众数等概念，你还记得吗？
1．平均数：＝（x1＋x2＋…＋xn）
2．中位数：把一组数据从小到大排列、中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．
3．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫这组数据的众数．
第六章 证明（一）
6.1 你能肯定吗
一、教学目标
1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.
2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
二、教学过程
1.在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？
下面我们来动手画一画，然后归纳、总结。
如上图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？
画出四边形ABCD，找到四边形的中点E、F、G、H后，量了量四边形EFGH的边发现：EF=GH，EH=GF.角∠EHG=∠EFG，∠HEF=∠HGF.
由此说明：四边形EFGH是平行四边形.
如果改变四边形ABCD的形状，你还能得到类似的结论吗？
改变了四边形ABCD的形状后，它们四边的中点所围成的四边形EFGH仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形EFGH是平行四边形.
在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：可以连接AC，也可以连接BD.把四边形ABCD变为△ABC与△ADC或△ABD与△BDC.
现在我们来连接AC。如上图
在△ABC中，EF是△ABC的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：EF平行于AC且等于AC的一半.
同样，在△ADC中，GH是△ADC的中位线，则GH平行于AC且等于AC的一半.
由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：EF∥GH.又因为：EF=AC，GH=AC，所以得EF=GH.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.可以得到：四边形EFGH是平行四边形.
即：连接AC
刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.
注：本题连接BD与连接AC的推理过程一样.
通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.
2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数？
当n=0时，n2－n+11=11.
当n=1时，n2－n+11=11.
当n=2时，n2－n+11=13.
当n=3时，n2－n+11=17.
当n=4时，n2－n+11=23.
当n=5时，n2－n+11=31.
由此可知：当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值都是质数.
这样我们就可以得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数.
6.2 定义与命题
定义与命题（一）
一、教学目标
1.定义的意义
2.命题的概念
二、教学过程
1.讲授新课
“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.
“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.
“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.
“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.
……
定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.
图6－6
如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；
如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；
如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；
……
如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？
如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染。
如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的。
如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染。
如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的。
如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.。
如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。
……
在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.
即：命题是判断一件事情的句子.如：
熊猫没有翅膀.
对顶角相等.
两直线平行，内错角相等.
无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.
内错角相等.
任意一个三角形都有一个直角.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
全等三角形的对应角相等.
……
三、课堂练习
1.你能列举出一些命题吗？
答案：举例略.
2.举出一些不是命题的语句.
答案：如：①画线段AB=3 cm.
②两条直线相交，有几个交点？
③等于同一个角的两个角相等吗？
④在射线OA上，任取两点B、C.等等.
6.3 为什么他们平行
一、教学目标
1.平行线的判定公理.
2.平行线的判定定理.
二、教学过程
1.讲授新课
看命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
如上图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.
要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3.
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）
［∵∠1+∠2=180°］
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］
∴∠1=∠3（等量代换）
［∵∠1=∠3］
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写成：
同旁内角互补，两直线平行.
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.
（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
例1 已知，如上图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠2与∠3互补（互补的定义）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
这一定理可以简单说成：
内错角相等，两直线平行.
例2 已知，如下图，直线a⊥c,b⊥c.
求证：a∥b.
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.
三、课堂练习
蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.
解：这三个四边形的形状是平行四边形.
理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）
∴∠α+∠β=180°（等式的性质）
∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）
5.4 如果两条直线平行
一、教学目标
1.平行线的性质定理的证明.
2.证明的一般步骤.
二、教学过程
1.讲授新课
在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：
两直线平行，同位角相等.
例 已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
图6－25
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.
三、课堂练习
补充练习
1.证明邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图6－25，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90°
∴OE⊥OF（垂直的定义）
2.已知，如上图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证法二：如上图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
证法三：如上图，连接BD（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
5.5 三角形内角和定理的证明
一、教学目标
三角形的内角和定理的证明.
二、教学过程
工人师傅将凹型零件加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角.
图1 图2 图3
为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？
1.讲授新课
为了回答这个问题，先观察如下的实验
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°，三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的，三角形的最大内角不会大于或等于180°。
当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.
（1） （2） （3） （4）
实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.
这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE能重合吗？
因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA，所以能重合。
这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.
证1 已知，如图6－40，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
证2 证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
三、课堂练习
1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.
答案：90° 60°
如图6－44，在△ABC中，∠C=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=90°.
如上图，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
2.如上图,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
5.6 关注三角形的外角
一、教学目标
1.三角形的外角的概念.
2.三角形的内角和定理的两个推论.
二、教学过程
1.下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.
已知，如上图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.
则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
2.那什么叫三角形的外角呢？
像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
外角的特征有三条：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.
（2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.
如上图，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？
∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.
∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得： ∠1=∠2+∠3.
因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
例1 已知，如上图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.
要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？
例2 已知，如上图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.
一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（已知）
∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.
三、.课堂练习
1.已知，如上图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.
解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠DCA=100°,∠A=45°（已知）
∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）
∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）
∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）
∵∠DCA=100°（已知）
∴∠ACB=80°（等量代换）
本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2.如下图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
证法一：（1）连接AD，并延长AD，如上图则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如下图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）
即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）
如果点D在线段BC的另一侧，如上图，则有
∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
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