高中数学人教版新课标A选修2-31.3二项式定理课时练习

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课后篇巩固探究
基础巩固
1.(x+2)6的展开式中x3的系数是( )

A.20B.40C.80D.160
解析(方法一)设含x3的为第r+1项,则Tr+1=C6rx6-r·2r,令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为C63×23=160.
(方法二)根据二项展开式的通项公式的特点:二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为C63×23=160.
答案D
2.对于二项式1x+x3n(n∈N*),有以下四种判断:
①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是( )
A.①与③B.②与③
C.②与④D.①与④
解析二项式1x+x3n的展开式的通项公式为Tk+1=Cnkx4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项,故选D.
答案D
3.(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数是( )
A.840B.-840C.210D.-210
解析在通项Tr+1=C10r(-2y)rx10-r中,令r=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数为C104·(-2)4=840.
答案A
4.使得3x+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4B.5C.6D.7
解析3x+1xxn展开式中的第r+1项为Cnr(3x)n-rx-32r=Cnr3n-rxn-52r.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,r∈N,使n-52r=0,故最小的n为5,故选B.
答案B
5.若二项式2x+ax7的展开式中1x3的系数是84,则实数a等于( )
A.2B.54C.1D.24
解析二项展开式的通项Tr+1=C7r(2x)7-r(ax-1)r=27-rarC7rx7-2r.
由题意知7-2r=-3,则r=5.
令22a5C75=84,解得a=1.
答案C
6.若x>0,设x2+1x5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为 .
解析T3=C52·x231x2=54x,T4=C53·x22·1x3=52x,故M+N=5x4+52x≥2258=522当且仅当5x4=52x时,等号成立.
答案522
7.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .
解析根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.
答案9
8.已知x+23xn展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的一次项系数.
解∵Cn8=Cn9,∴n=17,Tr+1=C17rx17-r2·2r·x-r3.
令17-r2-r3=1,得r=9.
∴T10=C179·x4·29·x-3=C179·29·x.
故x的一次项系数为29C179.
9.已知在x+2x2n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.
解T5=Cn4(x)n-4·24x-8=16Cn4xn-202,T3=Cn2(x)n-2·22x-4=4Cn2xn-102.
由题意知,16Cn44Cn2=563,解得n=10(负值舍去).
Tk+1=C10k(x)10-k·2kx-2k=2kC10kx10-5k2,
令10-5k2=0,解得k=2.
所以展开式中的常数项为C102×22=180.
10.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明∵1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1
=(31+1)n-1
=Cn0·31n+Cn1·31n-1+…+Cnn-1·31+Cnn-1
=31(Cn0·31n-1+Cn1·31n-2+…+Cnn-1),显然Cn0·31n-1+Cn1·31n-2+…+Cnn-1为整数,∴原式能被31整除.
能力提升
1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( )

A.-297B.-252C.297D.207
解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展开式中含x5的项的系数为C105-C102=207.
答案D
2.1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn等于( )
A.1B.-1C.(-1)nD.3n
解析逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.
答案C
3.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30B.20C.15D.10
解析(1+x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=C6rxr,则x(1+x)6的展开式中含x3的项为C62x3=15x3,所以系数为15.
答案C
4.(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为( )
A.-210B.210
C.30D.-30
解析(x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10=C100(x2)10-C101(x2)9(x-1)+…-C109x2(x-1)9+C1010(x-1)10,所以含x3项的系数为-C109C98+C1010(-C107)=-210,故选A.
答案A
5.(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是( )
A.-3B.-2C.2D.3
解析1x2-15展开式的通项为Tr+1=C5r·1x25-r·(-1)r=(-1)rC5r1x10-2r.
令10-2r=2或10-2r=0,解得r=4或r=5.
故(x2+2)·1x2-15的展开式的常数项是
(-1)4×C54+2×(-1)5×C55=3.
答案D
6.设二项式x-ax6(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是 .
解析A=C62(-a)2,B=C64(-a)4,由B=4A知,4C62(-a)2=C64(-a)4,解得a=±2.
∵a>0,∴a=2.
答案2
7.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 .
解析展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.
答案-121
8.已知(xcs θ+1)5的展开式中x2的系数与x+544的展开式中x3的系数相等,则cs θ= .
解析(xcsθ+1)5展开式中x2的系数为C53cs2θ.
x+544展开式中x3的系数为54·C41.由题意可知C53cs2θ=54·C41,∴cs2θ=12,∴csθ=±22.
答案±22
9.已知x-124xn的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项.
(2)求展开式中所有的有理项.
(1)证明由题意得2Cn1·12=1+Cn2·122,
即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).
∴Tk+1=C8k(x)8-k·-124xk
=-12k·C8kx8-k2·x-k4
=(-1)kC8k2k·x16-3k4(0≤k≤8,k∈Z).
若Tk+1是常数项,则16-3k4=0,
即16-3k=0,∵k∈Z,这不可能,
∴展开式中没有常数项.
(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当16-3k4为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,
即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.
10.求0.9986的近似值,使误差小于0.001.
解0.9986=(1-0.002)6=1+C61·(-0.002)+C62·(-0.002)2+…+C66·(-0.002)6.
由题意知T3=C62(-0.002)2=15×0.0022=0.00006<0.001,
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001,
故0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988.
11.(选做题)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.
(1)求和:a1C20-a2C21+a3C22,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33;
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
解(1)a1C20-a2C21+a3C22=a1-2a1q+a1q2
=a1(1-q)2,
a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.
(2)归纳概括的结论为:
若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+(-1)nan+1·Cnn=a1(1-q)n,n为正整数.
证明:a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+(-1)nan+1·Cnn=a1Cn0-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+…+(-1)na1qnCnn
=a1[Cn0-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+…+(-1)nqnCnn]
=a1(1-q)n.