初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教案

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教案，共5页。

课题
12.3角的平分线的性质（第二课时）
教科书第49——50页相关内容
教学目标
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
重点
角平分线性质定理的逆定理及应用.
难点
灵活应用两个性质解决问题．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或
设计意图
复
习
旧
知
，
导
入
新
课
1．角的平分线的性质定理是怎样叙述的？
2．用数学语言怎样描述？
师作出草图帮助理解．
３．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
这节课我们就来探究这个问题.
出示课题并板书课题.
1.集体回答：
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
２．看图说出数学语言：
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD = PE
３．讨论，证明．
P
图（１）
合
作
探
究
，
解
决
问
题
1．如上右图（１），点P是否在∠AOB的平分线上呢？
首先我们要作出辅助线，怎么做呢？
怎样证明呢？
教师巡视，引导证明．
通过证明，你得到什么结论？
这就是角的平分线的性质定理的逆定理，也叫做角的平分线的判定定理．
这个定理用数学语言如何表示呢？
２．角的平分线的性质定理与判定定理有什么区别呢？
出示课件加以说明．
老师点拨．
３．随堂练习．
填空：如右图（２）
(1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(__________________________)
(２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(______________________________)
４．解决问题：（课本第49页思考题）
如下图（3），要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
图（3）
5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是∠BAC的角平分线
分析：
AD是∠BAC的平分线
DE＝DF △BDE≌△CDF
学生如有困难，板书解题过程.
6.教学例题2.如下图（6），△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
图（6）
点拨：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F
想一想：点P也在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．
证明: 经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO，
PD=PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
即：OC平分∠AOB
结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
即点P在∠AOB的平分线上.
２．通过老师的点拨，得出：它们的题设与结论刚好相反，是一对互逆定理，它们在应用上也不相同，角的平分线的性质可用来证明线段相等；而角的平分线的判定定理是用来判定角的平分线．
３．看图回答问题．
A
C
D
E
B
1
2
图（２）
４．动手试一试，解决问题.
解：如下图（4），作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
D
s
O
C
图（4）
A
B
C
E
F
D
图（5）
5.按照老师的分析写出解题步骤.（步骤略）
6.根据老师的提示思考并尝试证明.
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
思考并回答：点P也在∠A的平分线上，角形三条角平分线相交于一点．
课
堂
练
习
，
巩
固
提
升
1.练习.（课本P50页练习第2题.）
如右图（7），△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等
2.已知：如右图（8），BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD .
求证： AD平分∠BAC .
A
B
C
D
E
F
1
2
图（9）
3、变式：
已知：如上图（9）,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC.
巡视，对有困难的学生给予帮助.
待学生做完后讲评.
1.同桌讨论并解题.
（解题步骤略）
图（7）
A
B
C
F
E
D

图（8）
2与3学生画出草图，自己解题.个别学生上台板演.
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
３．怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？
４．你还有哪些困惑？
释疑.
自主回答，畅所欲言.
提出疑问，当堂解决.
布
置作业
1.课本第51页习题12.3第3、6、7题.
2.选用作业设计.
板
书
设
计
12.3角的平分线的性质（第二课时）
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（如下图）
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
即点P在∠AOB的平分线上
∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
例1：






例2：

练习讲评：
作
业
设
计
１．如下图，已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
2、如下图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在 何处？
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
公路
公路
铁路
S
第１题图 第２题图
3、如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。
┌
┌
E
A
B
D
C
F
A
O
B
P
1
2
E
F
第３题图 第４题图
4、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800，
求证：OP平分∠AOB
5、如下图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
C
B
A
E
D
O

第5题图
教
学
反
思