高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定课堂教学课件ppt

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1.能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定.(逻辑推理)2.掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象)
【激趣诱思】在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长
了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题及其否定的知识,就可以通过逻辑进行分析了.
知识点一、命题的否定1.定义:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“¬p”,读作“非p”或“p的否定”.2.命题p与其否定¬p的真假关系如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.微思考 什么叫命题的否定?提示 只否定命题的结论,条件不变,这样的命题叫命题的否定.
知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定
名师点析 1.写全称量词命题的否定的方法(1)更换量词,将全称量词换为存在量词.(2)将结论否定.全称量词命题的否定是存在量词命题.2.写存在量词命题的否定的方法(1)将存在量词改写为全称量词.(2)将结论否定.存在量词命题的否定是全称量词命题.
3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键.(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.
微练习(1)(2021湖北鄂州高一期末)命题“∀x≥0,x2-x≥0”的否定是(　　)A.∃x<0,x2-x<0B.∀x>0,x2-x<0C.∃x≥0,x2-x≥0D.∃x≥0,x2-x<0答案 D解析 根据全称量词命题的否定的定义可知,命题“∀x≥0,x2-x≥0”的否定是“∃x≥0,x2-x<0”.故选D.
(2)“∃m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”的否定是(　　)A.∀m,n∈Z,使得m2=n2+2 020B.∃m,n∈Z,使得m2≠n2+2 020C.∀m,n∈Z,有m2≠n2+2 020D.以上都不对答案 C解析 命题“∃m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,所以命题的否定是∀m,n∈Z,有m2≠n2+2 020.
例1(1)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(　　)A.¬p:∀x∈A,2x∉BB.¬p:∀x∉A,2x∉BC.¬p:∃x∉A,2x∈BD.¬p:∃x∈A,2x∉B(2)写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.①p:对所有正数x, >x+1.②q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.③r:所有被5整除的整数都是奇数.④s:任意两个等边三角形都相似.分析(1)命题p中的量词是“∀”,命题的结论是“2x∈B”,改量词,否定结论即可.(2)全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.
(1)答案 D解析 命题p的否定为¬p:∃x∈A,2x∉B.(2)解 ①¬p:存在正数x, ≤x+1.例如当x=1时, 反思感悟 1.全称量词命题的否定的两个关注点(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
3.全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
变式训练 写出下列全称量词命题的否定:(1)p:所有自然数的平方都是正数.(2)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根.(3)p:对任意实数x,x2+1≥0.解 (1)有些自然数的平方不是正数.(2)存在实数x不是方程5x-12=0的根.(3)存在实数x,使得x2+1<0.
例2写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.(1)p:∃x∈R,2x+1≥0.(2)q:∃x∈R,x2-x+ <0.(3)r:有些分数不是有理数.分析把存在量词改为全称量词,然后否定结论.
反思感悟 1.存在量词命题否定的方法及关注点(1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词的否定.(2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.注意:不要把命题的否定和否命题混为一谈.
2.对省略量词的命题的否定对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定,而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定.3.存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
延伸探究将本例(2)改为:q :存在x∈R,x2-x-1<0,写出它的否定,并判断真假.
分类讨论思想的应用——求参数的取值范围典例 命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若¬p是真命题,则实数a的取值范围是(　　)A.(0,4]B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 当a=0时,不等式恒成立;当a≠0时,要使不等式恒成立.综上所述:0≤a≤4,则命题p:0≤a≤4,则¬p:a<0或a>4.答案 D方法点睛 本题为含参数的不等式问题,求解时应分a=0或a≠0两类来讨论,求解时应采用数形结合的思想建立不等式组求解.
1.命题“∀x>0,x2>0”的否定是(　　)A.∀x>0,x2≤0B.∃x>0,x2≤0C.∀x≤0,x2≤0D.∃x≤0,x2≤0答案 B解析 全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.命题“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为(　　)A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0答案 C解析 命题的否定为“∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0”.
3.(2021安徽高三开学考试)命题“∀x∈R,x2-2≥ x”的否定是　　　　　　　　. 答案 ∃x∈R,x2-2< x4.命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”的否定是　　　命题.(填“真”“假”之一) 答案 假解析 ∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,则命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”是真命题,则命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”的否定是假命题.
5.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2+2x+2=0;(2)p:所有的正方形都是菱形;(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.解 (1)∃x∈R,x2+2x+2≠0,真命题.因为∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.(2)至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是菱形.(3)∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.