高中人教版新课标A1.3二项式定理同步训练题

1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质

课后篇巩固探究

基础巩固

1.在(a-b)20的二项展开式中,与第6项二项式系数相同的项是(　　)

A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项

解析第6项的二项式系数为,与它相等的为倒数第6项,即第16项.

答案B

2.在(1+x(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是 (　　)

A.第+1项

B.第n项

C.第n+1项

D.第n项与第n+1项

解析本题中,系数最大的项即是二项式系数最大的项.∵2n为偶数,∴展开式的中间只有一项,为第n+1项,该项的二项式系数最大.

答案C

3.(x-1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(　　)

A.-2 048 B.-1 023 C.1 024 D.-1 024

解析(x-1)11=x11+x10·(-1)+x9·(-1)2+…+(-1)11,x的偶次项系数为负数,其和为-210=-1024.

答案D

4.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8等于 (　　)

A.180 B.-180 C.45 D.-45

解析∵(2-x)10=210(-x)0+29(-x)1+…+22(-x)8+2(-x)9+(-x)10,

∴a8=22=4×=4×=4×45=180.

答案A

5.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

解析x3=[2+(x-2)]3,a2=·2=6.

答案B

6.在(x-)2 012的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于(　　)

A.23 018 B.-23 017

C.23 017 D.-23 018

解析因为S=,当x=时,S=-=-23017,故选B.

答案B

7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n=　　　　　. 

解析令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,①

令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,②

①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),

所以a0+a2+…+a2n=.

答案

8.如图所示,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是　　　　　. 

解析∵2=1+1,4=1+1+2,7=1+1+2+3,11=1+1+2+3+4,

∴第n行的第2个数是1+1+2+3+4+…+n-1=1+=1+.

答案

9.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为　　　　. 

解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①

又Tk+1=(-3)4-k(2x)k,∴当k=4时,x4的系数a4=16.②

由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.

答案-15

10.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为　　　　. 

解析(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为+…+=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.

答案5

11.已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112.

(1)求m,n的值;

(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;

(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2项的系数.

解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tr+1=mr,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.

(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为=28-1=128.

(3)(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,

所以含x2的系数为24-22=1008.

能力提升

1.若(1-2x)2 017=a0+a1x+…+a2 017x2 017(x∈R),则+…+的值为(　　)

A.2 B.0 C.-1 D.-2

解析令x=0,得a0=1;令x=,得a0++…+=0,所以+…+=-1.

答案C

2.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为(　　)

A.1或3 B.-3

C.1 D.1或-3

解析令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.

答案D

3.在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为(　　)

A.-960 B.960

C.1 120 D.1 680

解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=(-2)4x4=1120x4,即展开式的中间项的系数为1120,故选C.

答案C

4.若x2-n的展开式中第三项与第五项的系数之比为,则展开式中常数项是(　　)

A.-10 B.10

C.-45 D.45

解析因为展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)n-r·(-1)r·(-1)r,所以,n=10,所以Tr+1=·(-1)r·,令20-=0,得r=8.所以常数项为T9=(-1)8=45.

答案D

5.已知0<a<1,方程a|x|=|logax|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1等于(　　)

A.-10 B.9 C.11 D.-12

解析作出y=a|x|(0<a<1)与y=|logax|的大致图象如图所示,所以n=2.

故(x+1)n+(x+1)11=(x+1)2+(x+1)11=[(x+2)-1]2+[(x+2)-1]11,故a1=-2+(-1)10=9.

答案B

6.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=　　　　　. 

解析令x=-1,则28=a0+a1+a2+…+a11+a12.

令x=-3,则0=a0-a1+a2-…-a11+a12.

∴28=2(a1+a3+…+a11).

∴a1+a3+…+a11=27.

∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.

答案7

7.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是　　　　. 

解析(1+x)n展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.

答案6

8.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=　　　　. 

解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-.

答案-

9.在二项式9x-n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为　　　　. 

解析因为二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9.所以二项式9x-9的展开式中,通项为Tr+1=(9x)9-r·-r=99-r·-r.令9-r=1,解得r=6,所以展开式中x的系数为×93×-6=84.

答案84

10.已知x+n展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n;

(2)若展开式中常数项为,求m的值;

(3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.

解(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.

(2)设常数项为第k+1项,则

Tk+1=x8-kk=mkx8-2k,

故8-2k=0,即k=4,则m4=,解得m=±.

(3)易知m>0,设第k+1项系数最大.

则

化简可得≤k≤.

由于只有第6项和第7项系数最大,

所以

即

所以m只能等于2.

11.(选做题)已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.

(1)求x2的系数取最小值时n的值;

(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.

解(1)由已知得+2=11,∴m+2n=11.

x2的系数为+22+2n(n-1)=+(11-m)-1=m-2+.

∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.

(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3.

∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.

设f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,

令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,

令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,

两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.