高中2.1离散型随机变量及其分布列同步练习题

第二章随机变量及其分布

2.1　离散型随机变量及其分布列

2.1.1　离散型随机变量

课后篇巩固探究

基础巩固

1.给出下列四个命题:

①在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;②黄河每年的最大流量是随机变量;③某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;④方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量.其中正确命题的个数是              (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析①②③是正确的,④中方程x2-2x-3=0的根有2个,是确定的,不是随机变量.

答案C

2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是(　　)

A.小球滚出的最大距离

B.倒出小球所需的时间

C.倒出的3个小球的质量之和

D.倒出的3个小球的颜色的种数

解析对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,可以预见,结果只有一种,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.

答案D

3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是(　　)

A.5 B.9 C.10 D.25

解析X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.

答案B

4.一串5把外形相同的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值可能为(　　)

A.5 B.2 C.3 D.4

解析由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙,但锁此时未打开,故试验次数为4.

答案D

5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为(　　)

A.0≤X≤5,X∈N 

B.-5≤X≤0,X∈Z 

C.1≤X≤6,X∈N 

D.-5≤X≤5,X∈Z

解析设x表示第一枚骰子掷出的点数,y表示第二枚骰子掷出的点数,X=x-y,且(x-y)∈Z.|x-y|≤|1-6|,即-5≤X≤5.

答案D

6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)

A.24 B.20 C.4 D.18

解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.

答案A

7.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为(　　)

A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品

B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品

C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品

D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品

解析由题意,得ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品,故选D.

答案D

8.已知Y=2X为离散型随机变量,Y的可能取值为1,2,3,…,10,则X的可能取值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

解析分别将Y的取值1,2,3,…,10代入Y=2X中,得X=,1,,2,,3,,4,,5.

答案,1,,2,,3,,4,,5

9.下面给出三个变量:

(1)2013年地球上发生地震的次数ξ.

(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.

(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.

其中是随机变量的是　　　　. 

解析(1)2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的,故不是随机变量;(2)发出的α粒子数η是变化的,有限的,是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数X可取的值是变化的,是随机变量.

答案(2)(3)

10.某篮球运动员在罚球时,罚中1球得2分,罚不中得0分,该队员在5次罚球中命中的次数X是一个随机变量.

(1)写出X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果;

(2)若记该队员在5次罚球后的得分为Y,写出所有Y的取值及每一个取值所表示的试验结果.

解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.它们表示在5次罚球中分别罚中0次,1次,2次,3次,4次,5次.

(2)Y的所有可能取值为0,2,4,6,8,10.它们表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.

11.写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.

(1)小明要去北京旅游,可能乘火车、乘汽车,也可能乘飞机,旅费分别为100元、300元和600元,将他的旅费记为ξ;

(2)正方体的骰子,各面分别刻着1,2,3,4,5,6,随意掷两次,所得的点数之和为ξ;

(3)一个人要开房门,他共有10把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为ξ;

(4)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间ξ(min).

解(1)ξ可能的取值为100,300,600,分别表示所花的旅费为100元,300元和600元.

(2)ξ可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.分别表示所掷点数为1,1;1,2或2,1;1,3或3,1或2,2;…;6,6.

(3)ξ可能的取值为1,2,3,…,10.ξ=n表示第n次打开房门(n取1,2,3,…,10).

(4)ξ可能的取值为区间[0,60]内任何一个值,每一个可能取的值表示他所等待的时间.

能力提升

1.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是(　　)

A.6 B.7 

C.10 D.25

解析X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共计10个.

答案C

2.若实数x∈R,记随机变量ξ=则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为(　　)

A.1 B.0 

C.-1 D.1或0

解析∵不等式≥1,可化为-1=≥0,

它等价于

解得0<x≤1.

而当x∈(0,1]时,ξ=1.故选A.

答案A

3.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有　　　　　种. 

解析X=8表示“3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个编号中选2个”,有种选法,即X=8表示的试验结果有21种.

答案21

4.一个袋中装有5个白球和5个红球,从中任取3个,其中所含白球的个数记为ξ,则随机变量ξ的值域为　　　　. 

解析依题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,故ξ的值域为{0,1,2,3}.

答案{0,1,2,3}

5.一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;

(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.

解(1)

(2)由题意可得Y=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,所以Y对应的取值为5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.

故Y的可能取值为6,11,16,21,显然Y为离散型随机变量.

6.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定:一次购买少于或等于50只的无优惠;多于50只的,超出的部分按原价的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量,那么他所付款η是否也为一个随机变量呢?ξ,η有什么关系呢?

解所付款η也是一个随机变量,且η=50×6+(ξ-50)×6×0.7=4.2ξ+90,ξ∈[50,80],ξ∈N.

7.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目,测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目做答.记某选手抽到科技类题目的道数为X.

(1)试求出随机变量X的可能取值.

(2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果?

解(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.

(2)X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.

从三类题目中各抽取一道有=180(种)不同的结果.

抽取1道科技类题目,2道文史类题目有=180(种)不同的结果.

抽取1道科技类题目,2道体育类题目,有=18(种)不同的结果.

所以可能出现180+180+18=378(种)不同的结果.

8.(选做题)写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.

(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X;

(2)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.

思路点拨先分析试验结果,确定随机变量的所有可能取值,然后写出随机变量的取值所表示的事件.

解(1)X的所有可能取值为0,1,2.

X=0表示所取的3个球是3个黑球;

X=1表示所取的3个球是1个白球,2个黑球;

X=2表示所取的3个球是2个白球,1个黑球.

(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

用(a,b)表示一个基本事件,其中a为第一枚骰子掷出的点数,b为第二枚骰子掷出的点数.

Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).

Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).

Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).

Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).

Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).

Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1).