高中数学人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列精练

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列精练，共10页。试卷主要包含了设离散型随机变量X的分布列为，3B，袋中装有10个红球、5个黑球，若随机变量X的分布列为，已知随机变量ξ的分布列为等内容，欢迎下载使用。

2.1.2　离散型随机变量的分布列
课后篇巩固探究
基础巩固
1.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m

若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,且P(Y=2)=P(X=4)=0.3.
答案A
2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是(　　)
A.ξ=4 B.ξ=5
C.ξ=6 D.ξ≤5
解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.
答案C
3.若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(X A.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
解析由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X 答案C
4.已知随机变量X所有可能取值的集合为{-2,0,3,5},且P(X=-2)=14,P(X=3)=12,P(X=5)=112,则P(X=0)的值为(　　)
A.0 B.14
C.16 D.18
解析由分布列的性质可知,P(X=0)=1-P(X=-2)-P(X=3)-P(X=5)=16.
答案C
5.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12 A.23 B.34 C.45 D.56
解析∵P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2+a6+a12+a20=1,∴a=54,∴P12 答案D
6.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛,则所选3人中,女生的人数不超过1人的概率为　　　　. 
解析设所选女生数为随机变量X,则X服从超几何分布,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C20C43C63+C21C42C63=45.
答案45
7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c为常数,则P(0.5 解析∵1=c11×2+12×3+13×4,
∴c=43.
∴P(0.5 答案89
8.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.[如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223]
第一排
明文字母
A
B
C
密码数字
11
12
13
第二排
明文字母
E
F
G
密码数字
21
22
23
第三排
明文字母
M
N
P
密码数字
1
2
3

(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;
(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.
①求P(ξ=2);
②求随机变量ξ的分布列.
解(1)这个明文对应的密码是12232.
(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,
∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母.
∴P(ξ=2)=2333=827.
②由题意可知,ξ的取值为2,3.
∴P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-827=1927.
∴ξ的分布列为
ξ
2
3
P
827
1927

9.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112

(1)求η1=12ξ的分布列;
(2)求η2=ξ2的分布列.
解(1)η1=12ξ的分布列为
η1
-1
-12
0
12
1
32
P
112
14
13
112
16
112

(2)η2=ξ2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
13
13
14
112

10.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.

(1)求获得复赛资格的人数;
(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?
(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列.
解(1)由题意知[90,110)之间的频率为1-20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3,
0.3+(0.0125+0.0050)×20=0.65,
∴获得复赛资格的人数为800×0.65=520.
(2)在区间(110,130]与(130,150]中,0.0125∶0.0050=5∶2,
在区间(110,150]的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,
则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人.
(3)X的可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=C53C20C73=27,
P(X=1)=C52C21C73=47,
P(X=2)=C51C22C73=17,
故X的分布列为:
X
0
1
2
P
27
47
17

11.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中原有的白球的个数;
(2)求随机变量ξ的分布列;
(3)求甲取到白球的概率.
解(1)设袋中原有n个白球,由题意知
17=Cn2C72=n(n-1)27×62=n(n-1)7×6,
可得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.
(2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ=1)=37;
P(ξ=2)=4×37×6=27;
P(ξ=3)=4×3×37×6×5=635;
P(ξ=4)=4×3×2×37×6×5×4=335;
P(ξ=5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=135.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
37
27
635
335
135

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A,
则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=2235.
能力提升
1.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为ξ,则ξ的分布列为(　　)
A.
ξ
0
1
2
P
715
715
115

B.
ξ
1
2
3
P
115
715
715

C.
ξ
0
1
2
P
12
13
16

D.
ξ
0
1
2
P
115
715
715

解析ξ的所有可能取值为0,1,2,“ξ=0”表示入选的3人全是男生,则P(ξ=0)=C83C103=715,
“ξ=1”表示入选的3人中恰有1名女生,
则P(ξ=1)=C21C82C103=715,
“ξ=2”表示入选的3人中有2名女生,
则P(ξ=2)=C22C81C103=115.
因此ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
715
715
115

答案A
2.一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,下列概率等于(n-m)Am2An3的是(　　)
A.P(X=3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X=2)
解析由超几何分布知P(X=2)=(n-m)Am2An3.
答案D
3.抛掷2枚骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)等于(　　)
A.16 B.13 C.12 D.23
解析根据题意,有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两枚骰子,按所得的点数可得共36个基本事件,而X=2对应(1,1),X=3对应(1,2),(2,1),X=4对应(1,3),(3,1),(2,2).
故P(X=2)=136,P(X=3)=236=118,P(X=4)=336=112,所以P(X≤4)=136+118+112=16.
答案A
4.已知随机变量ξ只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是(　　)
A.0,13 B.-13,13
C.-3,3 D.0,1
解析设随机变量ξ取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d(0≤a-d≤1,0≤a+d≤1),则由分布列的性质,得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=13.
由13-d≥0,13+d≥0,解得-13≤d≤13.
答案B
5.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其分布列如下:
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20

则丢失的两个数据x,y依次为　　　　　. 
解析由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得10x+y=25.又因为x,y∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故两个数据依次为2,5.
答案2,5
6.袋中有4个红球,3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=　　　　. 
解析取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=C44×C30C74+C43×C31C74=1335.
答案1335
7.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)=A22A52=110,
P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1-110-310=35.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
110
310
35

8.北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数量如下表:
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1

从中随机地选取5只.
(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率;
(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分;若选出的5只中仅差一种记80分;差两种记60分;以此类推,设X表示所得的分数,求X的分布列.
解(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P=C21·C31C85=656=328.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X=100)=C21·C31C85=328,
P(X=80)=C32(C22·C31+C21·C32)+C33(C22+C32)C85=3156,
P(X=60)=C31(C22·C32+C21·C33)+C32·C33C85=1856=928,P(X=40)=C22·C33C85=156.
所以X的分布列为
X
100
80
60
40
P
328
3156
928
156

9.某高校一专业在一次自主招生中,对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:
　语言表达能力人数逻辑思维能力
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4
m
1
优秀
1
3
n

由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.
(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率;
(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名,设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X,求随机变量X的分布列.
解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”,
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名,∴P(A)=6+n20=25,解得n=2,∴m=4,
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”,∴P(B)=1-C62C92=712.
(2)随机变量X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2.
∵在20名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名,
∴P(X=0)=C122C202=3395,
P(X=1)=C81C121C202=4895,
P(X=2)=C82C202=1495,
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
3395
4895
1495

10.(选做题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x(年)
0 1 x>2
0 x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9

将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.
解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.
(2)依题意得,X1的分布列为
X1
1
2
3
P
125
350
910

X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
110
910