高中数学人教版新课标A选修2-32.2二项分布及其应用当堂检测题

2.2.3　独立重复试验与二项分布

课后篇巩固探究

基础巩固

1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-×=3×,故选A.

答案A

2.将一枚质地均匀的硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现(k+1)次正面的概率,那么k的值为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

解析根据题意,本题为独立重复试验,由概率公式得,解得k=2.

答案C

3.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)

A. B. 

C. D.

解析易知P(ξ=0)=(1-p)2=1-,∴p=,则P(η≥2)=p3+p2(1-p)1=.

答案C

4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=

如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为 (　　)

A. 

B.

C. 

D.

解析由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.

答案B

5.已知X~B6,,则使P(X=k)最大的k的值是 (　　)

A.2 B.3 

C.2或3 D.4

解析P(X=k)=k·6-k=6,当k=3时,6最大.

答案B

6.若X~B(4,p),且P(X=2)=,则一次试验成功的概率p=　　　　　　　　. 

解析P(X=2)=p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=,解得p=或p=.

答案

7.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为　　　　　. 

解析设在一次试验中,事件A发生的概率为p,

由题意知,1-(1-p)4=,

所以(1-p)4=,故p=.

答案

8.已知实验女排和育才女排两队进行比赛,在一局比赛中实验女排获胜的概率是,没有平局.若采用三局两胜制,即先胜两局者获胜且比赛结束,则实验女排获胜的概率为　　　　. 

解析实验女排要获胜必须赢得两局,故获胜的概率为P=2+.

答案

9.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.

(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率;

(2)用ξ,η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.

解依题意,得这4个人中,每个人去淘宝网购物的概率为,去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),

则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).

(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为3=.

(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.

P(X=0)=P(A0)+P(A4)

=0×4+4×0

=,

P(X=3)=P(A1)+P(A3)

=1×3+3×1

=,

P(X=4)=P(A2)=22=.

所以随机变量X的分布列是

能力提升

1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为(　　)

A.0.33 B.0.66 

C.0.5 D.0.45

解析根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为·0.94(1-0.9)≈0.33,故选A.

答案A

2.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)

A.[0.4,1] 

B.(0,0.4] 

C.(0,0.6] 

D.[0.6,1)

解析由题意得,·p(1-p)3≤p2(1-p)2,

∴4(1-p)≤6p.

∵0<p≤1,∴0.4≤p≤1.

答案A

3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

解析由独立重复试验的定义知,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率P=.

答案A

4.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=　　　　. 

解析∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,

解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.

答案

5.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为　　　　. 

解析设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,

∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(AB+AB)C,

∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P=×.

答案

6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是　　　　　　　. 

解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为3·2=5=5=.

答案

7.在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;

(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的分布列.

解(1)设事件A表示“甲选做第21题”,事件B表示“乙选做第21题”,

则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB+”,且事件A,B相互独立.

故P(AB+)=P(A)P(B)+P()P()

=+1-×1-=.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B4,.

则P(ξ=k)=k1-4-k=4(k=0,1,2,3,4).

即P(ξ=0)=4=;

P(ξ=1)=4=;

P(ξ=2)=4=;

P(ξ=3)=4=;

P(ξ=4)=4=.

故随机变量ξ的分布列为

8.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?

解(1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.

故P()=4=.

所以P(A1)=1-P()=1-.

所以甲连续射击4次,至少有一次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,

则P(A2)=×2×1-2=,

P(B2)=3×1-1=.

由于甲、乙射击相互独立,

故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=.

所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),

则A3=D5D4D1∪D2),

且P(Di)=.

由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()P(D1+D2)

=×1-=.

所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为.

9.(选做题)一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.

(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;

(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

解(1)由ξ~B5,,

则P(ξ=k)=k5-k,k=0,1,2,3,4,5.

即P(ξ=0)=×0×5=;

P(ξ=1)=×4=;

P(ξ=2)=×2×3=;

P(ξ=3)=×3×2=;

P(ξ=4)=×4×;

P(ξ=5)=×5=.

故ξ的分布列为

(2)η的分布列为P(η=k)=P(前k个是绿灯,第k+1个是红灯)=k·,k=0,1,2,3,4,

即P(η=0)=0×;

P(η=1)=;

P(η=2)=2×;

P(η=3)=3×;

P(η=4)=4×;

P(η=5)=P(5个均为绿灯)=5.

故η的分布列为

(3)所求概率为

P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-5=.