人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案，共12页。
4.4　幂函数
学 习 任 务
核 心 素 养(教师独具)
1．掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)
3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)
1．通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养．
2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.


给出下列五个问题：
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
③如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数．
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数．
问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
(2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？
[提示]　(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝.
(2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1．
知识点1　幂函数的概念及五个常见的幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数．
幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？
[提示]　幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．五个常见幂函数的图像

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x是幂函数． (　　)
(2)函数y＝2－x是幂函数． (　　)
(3)幂函数的图像都不过第二、四象限． (　　)
[提示]　(1)√.函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数．
(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数．
(3)×.幂函数y＝x2过第二象限．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2.下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
C　[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]
知识点2　幂函数的图像特征及性质
(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．
(2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
3.幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
A　[由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．]
4.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________.
2　[设f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4＝2.]

类型1　幂函数的概念
【例1】　函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[解]　根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.

如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．


1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
[解]　(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1．
(2)若f(x)为反比例函数，
则⇒m＝－1．
(3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
类型2　幂函数的图像和性质
【例2】　(1)幂函数y＝x(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为(　　)

A．－1＜m＜4　　 B．0或2
C．1或3 D．0,1,2或3
(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)