北师大版 (2019)必修 第二册1.3 综合应用导学案及答案

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类型1 数量积的计算
【例1】 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝ eq \f(π,4)，若 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝2 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AD,\s\up8(→))，则 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝________．
(2)在△ABC中，已知 eq \(AB,\s\up8(→))与 eq \(AC,\s\up8(→))的夹角是90°，| eq \(AB,\s\up8(→))|＝2，| eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，M是BC上的一点，且 eq \(AM,\s\up8(→))＝λ eq \(AB,\s\up8(→))＋μ eq \(AC,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，且 eq \(AM,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝0，则 eq \f(λ,μ)的值为________．
(1)12 (2) eq \f(1,4) [(1)因为 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝2 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AD,\s\up8(→))，
所以 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AD,\s\up8(→))，
所以 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(DC,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AD,\s\up8(→)).
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝ eq \f(π,4)，
所以2| eq \(AB,\s\up8(→))|＝| eq \(AB,\s\up8(→))|| eq \(AD,\s\up8(→))|cs eq \f(π,4)，
化简得| eq \(AD,\s\up8(→))|＝2 eq \r(2).
故 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))·( eq \(AD,\s\up8(→))＋ eq \(DC,\s\up8(→)))＝| eq \(AD,\s\up8(→))|2＋ eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(DC,\s\up8(→))
＝(2 eq \r(2))2＋2 eq \r(2)×2cs eq \f(π,4)＝12.
(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，
所以 eq \(AB,\s\up8(→))＝(0，2)， eq \(AC,\s\up8(→))＝(1，0)， eq \(BC,\s\up8(→))＝(1，－2).
设M(x，y)，则 eq \(AM,\s\up8(→))＝(x，y)，
所以 eq \(AM,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，
所以x＝2y，
又 eq \(AM,\s\up8(→))＝λ eq \(AB,\s\up8(→))＋μ eq \(AC,\s\up8(→))，
即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，所以 eq \f(λ,μ)＝ eq \f(\f(1,2)y,2y)＝ eq \f(1,4).]
平面向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs θ(θ为a，b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
类型2 求模
【例2】 已知平面向量a，b的夹角为 eq \f(π,6)，且|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中， eq \(AB,\s\up8(→))＝2a＋2b， eq \(AC,\s\up8(→))＝2a－6b，D为BC中点，则| eq \(AD,\s\up8(→))|＝________．
2 [因为 eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→)))＝ eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以| eq \(AD,\s\up8(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×(3－2×2× eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＋4)＝4，
则| eq \(AD,\s\up8(→))|＝2.]
求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解．
类型3 求夹角
【例3】 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2 eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))，设向量 eq \(AE,\s\up8(→))， eq \(BD,\s\up8(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
－ eq \f(\r(10),10) [因为2 eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))，
所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，则| eq \(AE,\s\up8(→))|＝ eq \r(5)，| eq \(BD,\s\up8(→))|＝2 eq \r(2)，
eq \(AE,\s\up8(→))· eq \(BD,\s\up8(→))＝( eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up8(→)))·( eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))
＝ eq \f(1,2)| eq \(AD,\s\up8(→))|2－| eq \(AB,\s\up8(→))|2＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)×22－22＝－2，
所以cs θ＝ eq \f(\(AE,\s\up8(→))·\(BD,\s\up8(→)),|\(AE,\s\up8(→))||\(BD,\s\up8(→))|)＝ eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－ eq \f(\r(10),10).]
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：由向量数量积的定义知，cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)))\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))))．
类型4 垂直问题
【例4】 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足 eq \(AB,\s\up8(→))＝2a， eq \(AC,\s\up8(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ eq \(BC,\s\up8(→))
D [∵b＝ eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))，∴|b|＝| eq \(BC,\s\up8(→))|＝2，故A错；
∵ eq \(BA,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝2×2×cs 60°＝2，即－2a·b＝2，∴a·b＝－1，故B，C都错；
∵(4a＋b)· eq \(BC,\s\up8(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥ eq \(BC,\s\up8(→))，故选D.]
两向量垂直的应用a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
类型5 数量积的综合问题
【例5】 已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求α；
(2)若|m－n|＝ eq \r(2)，求sin α的值．
[解] (1)若m⊥n，则m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cs2α＝0，
即sinα＝ eq \f(1,2)，可得α＝2kπ＋ eq \f(π,6)或α＝2kπ＋ eq \f(5π,6)，k∈Z.
(2)若|m－n|＝ eq \r(2)，则(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cs α)2＝2，
即4sin 2α＋4－8sin α＋4cs2α＝2，
即8－8sinα＝2，
可得sin α＝ eq \f(3,4).
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解．