高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素学案
展开小学和初中我们学过平面上的一些几何图形,如直线、三角形、长方形、圆等.现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么它们有很多相同的特征.
阅读教材,结合上述情境回答下列问题:
问题1:空间几何体的定义是什么?
问题2:常见的空间几何体分为哪几类?
问题3:常见的多面体有哪些?
知识点1 空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本元素:任意一个几何体都是由点、线、面构成的,点、线、面是构成几何体的基本元素.
(2)平面:
①平面的画法:
②平面的表示方法:
用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ.
用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD.
用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC.
(3)多面体及相关概念
由平面多边形围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的面,两个相邻面的公共边称为多面体的棱,棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
知识点2 棱柱
1.关于棱柱,下列说法正确的有________(填序号).
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;
(2)棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形;
(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.
(2) [(1)不正确,反例如图所示.(2)正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形.
(3)不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.]
知识点3 棱锥
1.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗?
[提示] 不一定是.只有当这些三角形有公共的顶点时才是棱锥.
2.下列棱锥有6个面的是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
[答案] C
知识点4 棱台
2.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗?
[提示] 因为棱台是由棱锥截得的,所以棱台的各侧棱延长线一定相交于一点.
3.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都错
B [棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行.所以有两个面平行的多面体不可能是棱锥.]
类型1 棱柱的结构特征
【例1】 下列命题中,正确的是( )
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形
D [A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点;对于B选项,如下图(1),构造四棱柱ABCDA1B1C1D1,令四边形ABCD是梯形,可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1,但这两个面不能作为棱柱的底面;选项C中,如下图(2),底面ABCD可以是平行四边形;D选项说明了棱柱的特点,故选D.
]
(1) (2)
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行;
②其余各面是平行四边形;
③每相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.下列关于棱柱的说法中,错误的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
C [显然A正确;底面边数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;底面是正方形的四棱柱,有一对侧面与底面垂直,另一对侧面不垂直于底面,此时侧面并不全等,所以C错误;D正确,所以选C.]
类型2 棱锥和棱台的结构特征
【例2】 (教材北师版P198练习1改编)(1)下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥;
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台;
③两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
④有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)下列说法正确的有________个.
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
②正棱锥的侧面是等边三角形;
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
(1)A (2)0 [由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等,故①错;三棱柱是只有两个面平行的五面体,故②错.如图,可知③④错误.
(2)①不正确.棱锥的定义是:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,故此说法是错误的.如图所示的几何体满足此说法,但它不是棱锥,理由是△ADE和△BCF无公共顶点.
②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.
③错误.由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD.满足底面△BCD为等边三角形.三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等.]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2.一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
D [由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此一定不是六棱锥.]
类型3 多面体的平面展开图问题
【例3】 长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
1.如何把一个多面体的侧面展开?
[提示] 在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
2.如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?
,
① ② ③
[提示] 图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把侧面展开图还原为原几何体,如图所示:
所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
3. eq \x(\a\al(蚂蚁的爬行路线,可能有三种))→ eq \x(\a\al(分别把长方体,的侧面展开))→ eq \x(分别计算)→ eq \x(三种情况的最小值即为所求)
[解] 沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展开在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
(1)若将C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得AC1= eq \r(42+(5+3)2)= eq \r(80)=4 eq \r(5).
(2)若将AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得AC1= eq \r(32+(5+4)2)= eq \r(90)=3 eq \r(10).
(3)若将CC1剪开,使面BC1与面AB1共面,可求得AC1= eq \r((4+3)2+52)= eq \r(74).
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 eq \r(74).
把例3的条件换为:如图所示,棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中,棱CC1的中点为M,蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点M,求蚂蚁爬行的最短路线长.
[解] 由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 eq \r(13) cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm,故两点之间的距离是 eq \r(17) cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 eq \r(13) cm.
求几何体表面上两点间的距离的方法:求从几何体的表面上一点,沿几何体表面运动到另一点,所走过的最短距离,常将几何体沿某条棱剪开,使两点展开在一个平面上,转化为求平面上两点间的最短距离问题.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.如图为某几何体的平面展开图.
(1)沿图中虚线折叠起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出该几何体;
(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体?
[解] (1)能折叠成一个有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,如图①所示.
图① 图②
(2)需要3个图①中的几何体,如图②所示,分别为四棱锥A1CDD1C1,四棱锥A1ABCD,四棱锥A1BCC1B1.
1.下列说法正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
D [A错误.只有用平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台.
B错误.反例:长方体的相对的侧面也相互平行.
C错误.棱台的底面是两个相似的多边形,不一定是正方形.
D正确.因为棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的,所以棱台的侧棱延长后必交于一点.]
2.(多选题)下面图形中,为棱锥的是( )
A B C D
ABD [根据棱锥的定义和结构特征可以判断,AB是棱锥,C不是棱锥,D是棱锥.故选ABD.]
3.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行
C.棱柱的侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
A [棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.]
4.下列图形中,不能折成三棱柱的是( )
A B C D
C [C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折成三棱柱.]
5.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________(填序号).
①三角形;②四边形;③五边形;④不可能为四边形.
①② [如图①所示,用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;如图②所示,用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.
图① 图②]
回顾本节内容,自我完成以下问题:
1.在棱柱、棱锥的定义中应注意哪些问题?
[提示] 棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有两个平面(底面)互相平行;
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有一个面(底面)是多边形;
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
2.棱柱、棱锥、棱台三者图形之间有怎样的关系?
[提示] 棱柱、棱台、棱锥关系图
学 习 任 务
核 心 素 养
1.通过对实物模型的观察,归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(重点)
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(重点、难点)
1.通过对多面体结构特征的学习,培养学生直观想象素养.
2.借助于多面体侧面展开图的相关计算,培养学生数学运算素养.
一般地,用平行四边形表示平面,当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍
当两个平面相交时,把被遮挡部分画成虚线或不画
定义
有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体称为棱柱
图形及
表示
如图可记作:棱柱ABCDEA1B1C1D1E1或棱柱AC1
相关
概念
底面(底):两个互相平行的面
侧面:其余各面
侧棱:相邻侧面的公共边
顶点:侧面与底面的公共顶点
对角线:既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线
高:过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离,也是两底面间的距离,即棱柱的高
性质
(1)侧棱都相等
(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形
(3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形
分类
(1)按侧面形状分类:侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱
(2)按底面形状分类:棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
特殊的
四棱柱
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体是长方体;棱长都相等的长方体是正方体
定义
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥
图形及表示
如图可记作:棱锥SABCDEF或棱锥SAC
相关
概念
底面(底):多边形ABCDEF
侧面:其余各面
顶点:各个侧面的公共点
侧棱:相邻两个侧面的公共边
高:顶点到底面的距离
性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似
分类
(1)分类:棱锥的底面可能是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….三棱锥也叫作四面体
(2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形.这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的斜高
定义
用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台
图形及
表示
如图可记作:棱台ABC A1B1C1或棱台AC1
相关
概念
底面:原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面
侧面:其余各面
侧棱:相邻两个侧面的公共边
高:上下两底面之间的距离
分类
(1)分类:由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形.这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
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