高中数学北师大版 (2019)必修第二册1.1 构成空间几何体的基本元素学案

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第二册1.1 构成空间几何体的基本元素学案，共11页。

小学和初中我们学过平面上的一些几何图形，如直线、三角形、长方形、圆等．现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，如粉笔盒、足球、易拉罐等．如果只考虑这些物体的形状和大小，那么它们有很多相同的特征．
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
问题1：空间几何体的定义是什么？
问题2：常见的空间几何体分为哪几类？
问题3：常见的多面体有哪些？
知识点1 空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本元素：任意一个几何体都是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元素．
(2)平面：
①平面的画法：
②平面的表示方法：
用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面ABCD.
用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面AC.
(3)多面体及相关概念
由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．
知识点2 棱柱
1.关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号).
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
(2) [(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．
(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．]
知识点3 棱锥
1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗？
[提示] 不一定是．只有当这些三角形有公共的顶点时才是棱锥．
2.下列棱锥有6个面的是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
[答案] C
知识点4 棱台
2.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[提示] 因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台的各侧棱延长线一定相交于一点．
3.有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
B [棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．所以有两个面平行的多面体不可能是棱锥．]
类型1 棱柱的结构特征
【例1】下列命题中，正确的是( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
D [A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCDA1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.
]
(1) (2)
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③每相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
C [显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.]
类型2 棱锥和棱台的结构特征
【例2】 (教材北师版P198练习1改编)(1)下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(2)下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
②正棱锥的侧面是等边三角形；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
(1)A (2)0 [由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．
(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥 B．四棱锥
C.五棱锥 D．六棱锥
D [由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此一定不是六棱锥．]
类型3 多面体的平面展开图问题
【例3】长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
1.如何把一个多面体的侧面展开？
[提示] 在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
2.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
,
① ② ③
[提示] 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
3. eq \x(\a\al(蚂蚁的爬行路线,可能有三种))→ eq \x(\a\al(分别把长方体,的侧面展开))→ eq \x(分别计算)→ eq \x(三种情况的最小值即为所求)
[解] 沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展开在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝ eq \r(42＋（5＋3）2)＝ eq \r(80)＝4 eq \r(5).
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝ eq \r(32＋（5＋4）2)＝ eq \r(90)＝3 eq \r(10).
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝ eq \r(（4＋3）2＋52)＝ eq \r(74).
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 eq \r(74).
把例3的条件换为：如图所示，棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱CC1的中点为M，蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长．
[解] 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 eq \r(13) cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 eq \r(17) cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 eq \r(13) cm.
求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展开在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.如图为某几何体的平面展开图．
(1)沿图中虚线折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出该几何体；
(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？
[解] (1)能折叠成一个有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图①所示．
图① 图②
(2)需要3个图①中的几何体，如图②所示，分别为四棱锥A1CDD1C1，四棱锥A1ABCD，四棱锥A1BCC1B1.
1．下列说法正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
D [A错误．只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台．
B错误．反例：长方体的相对的侧面也相互平行．
C错误．棱台的底面是两个相似的多边形，不一定是正方形．
D正确．因为棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，所以棱台的侧棱延长后必交于一点．]
2．(多选题)下面图形中，为棱锥的是( )
A B C D
ABD [根据棱锥的定义和结构特征可以判断，AB是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥．故选ABD.]
3．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行
C．棱柱的侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
A [棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．]
4．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
A B C D
C [C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．]
5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号).
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．
①② [如图①所示，用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；如图②所示，用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
图① 图②]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1.在棱柱、棱锥的定义中应注意哪些问题？
[提示] 棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
2.棱柱、棱锥、棱台三者图形之间有怎样的关系？
[提示] 棱柱、棱台、棱锥关系图
学习任务
核心素养
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．(重点、难点)
1．通过对多面体结构特征的学习，培养学生直观想象素养．
2．借助于多面体侧面展开图的相关计算，培养学生数学运算素养．
一般地，用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍
当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画
定义
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体称为棱柱
图形及
表示
如图可记作：棱柱ABCDEA1B1C1D1E1或棱柱AC1
相关
概念
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线
高：过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的高
性质
(1)侧棱都相等
(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形
(3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形
分类
(1)按侧面形状分类：侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱
(2)按底面形状分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
特殊的
四棱柱
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体
定义
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥
图形及表示
如图可记作：棱锥SABCDEF或棱锥SAC
相关
概念
底面(底)：多边形ABCDEF
侧面：其余各面
顶点：各个侧面的公共点
侧棱：相邻两个侧面的公共边
高：顶点到底面的距离
性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似
分类
(1)分类：棱锥的底面可能是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….三棱锥也叫作四面体
(2)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形．这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高
定义
用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台
图形及
表示
如图可记作：棱台ABC A1B1C1或棱台AC1
相关
概念
底面：原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面
侧面：其余各面
侧棱：相邻两个侧面的公共边
高：上下两底面之间的距离
分类
(1)分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
(2)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形．这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点