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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数授课ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数授课ppt课件，共52页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案AB，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.(直观想象)3.知道对数函数y=lgax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).(数学抽象)
[激趣诱思]某种物质的细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示?那么如果知道这种物质的一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,如何求解x的值呢?
知识点一:对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数y=lgax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
名师点析 1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=lgax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=lgax可化为ay=x,由指数函数的性质可知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
微练习下列函数是对数函数的是( )A.y=lgax+2(a>0,且a≠1,x>0)B.y=lg2 (x>0)C.y=lgx3(x>0,且x≠1)D.y=lg6x(x>0)答案 D微拓展1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
知识点二:对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象和性质
名师点析 (1)对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.(2)当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数00,且a≠1)的图象,需找三个关键点:(a,1),(1,0),( ,-1).
微练习1(多选题)若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值可能是( )
微练习2(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是( )A.y=5xB.y=lg x+2C.y=x2+1(2)函数f(x)=lga(x-2)-2x的图象必经过定点 . 答案 (1)D (2)(3,-6)
例1(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·lgmx,则m= . (2)已知对数函数f(x)的图象过点①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.
(1)答案 2解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=lg(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
反思感悟 求解与对数函数有关的函数的定义域的方法(1)求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数真数大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
例3(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=lg24=2.要点笔记 涉及指数和对数函数互为反函数问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
例4作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解 先画出函数y=lg x的图象(如图1).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
图3由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
反思感悟 求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=lgax(a>0,a≠0)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
变式训练4画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间:(1)y=lg3(x-2);(2)y=lg5|x|.
解 (1)函数y=lg3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增.(2)∵f(x)=lg5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图2所示.其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
例5比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2;(2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);(3)lg30.2,lg40.2;(4)lg3π,lgπ3.
解 (1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.31时,函数y=lgax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以lga3.1lga5.2.故当a>1时,lga3.1lga5.2.
(3)(方法1)因为0>lg0.23>lg0.24,(方法2)画出y=lg3x与y=lg4x的图象,如图所示,由图可知lg40.2>lg30.2.(4)因为函数y=lg3x在定义域内是增函数,且π>3,所以lg3π>lg33=1.同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
变式训练5比较下列各组中两个值的大小:(1)lg31.9,lg32;(2)lg23,lg0.32;(3)lgaπ,lga3.141(a>0,且a≠1).
解 (1)(单调性法)因为f(x)=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)lg21=0,lg0.32lg0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=lgax在定义域内是增函数,则有lgaπ>lga3.141;当01时,lgaπ>lga3.141;当0
方法点睛 建立对数函数模型解决实际问题对数运算是求指数的运算,因此要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算工具计算解题.
变式训练某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,问从哪一年开始,该公司全年投入的研发资金超过200万元?(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
1.(2021福建龙岩高一期末)已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=( )A.1B.2C.10D.1010答案 A解析 函数y=10x的反函数为f(x)=lg10x=lg x,f(10)=lg 10=1,故选A.
2.函数y=lg2(x+1)的图象大致是( )
答案 C解析 函数y=lg2(x+1)的图象是把函数y=lg2x的图象向左平移一个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数,故选C.
A.y
6.已知函数f(x)=lg3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.(直观想象)3.知道对数函数y=lgax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).(数学抽象)
[激趣诱思]某种物质的细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示?那么如果知道这种物质的一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,如何求解x的值呢?
知识点一:对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数y=lgax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
名师点析 1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=lgax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=lgax可化为ay=x,由指数函数的性质可知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
微练习下列函数是对数函数的是( )A.y=lgax+2(a>0,且a≠1,x>0)B.y=lg2 (x>0)C.y=lgx3(x>0,且x≠1)D.y=lg6x(x>0)答案 D微拓展1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
知识点二:对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象和性质
名师点析 (1)对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.(2)当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0
微练习1(多选题)若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值可能是( )
微练习2(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是( )A.y=5xB.y=lg x+2C.y=x2+1(2)函数f(x)=lga(x-2)-2x的图象必经过定点 . 答案 (1)D (2)(3,-6)
例1(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·lgmx,则m= . (2)已知对数函数f(x)的图象过点①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.
(1)答案 2解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=lg(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
反思感悟 求解与对数函数有关的函数的定义域的方法(1)求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数真数大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
例3(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=lg24=2.要点笔记 涉及指数和对数函数互为反函数问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
例4作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解 先画出函数y=lg x的图象(如图1).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
图3由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
反思感悟 求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=lgax(a>0,a≠0)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
变式训练4画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间:(1)y=lg3(x-2);(2)y=lg5|x|.
解 (1)函数y=lg3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增.(2)∵f(x)=lg5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图2所示.其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
例5比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2;(2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);(3)lg30.2,lg40.2;(4)lg3π,lgπ3.
解 (1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3
(3)(方法1)因为0>lg0.23>lg0.24,(方法2)画出y=lg3x与y=lg4x的图象,如图所示,由图可知lg40.2>lg30.2.(4)因为函数y=lg3x在定义域内是增函数,且π>3,所以lg3π>lg33=1.同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
变式训练5比较下列各组中两个值的大小:(1)lg31.9,lg32;(2)lg23,lg0.32;(3)lgaπ,lga3.141(a>0,且a≠1).
解 (1)(单调性法)因为f(x)=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)
方法点睛 建立对数函数模型解决实际问题对数运算是求指数的运算,因此要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算工具计算解题.
变式训练某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,问从哪一年开始,该公司全年投入的研发资金超过200万元?(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
1.(2021福建龙岩高一期末)已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=( )A.1B.2C.10D.1010答案 A解析 函数y=10x的反函数为f(x)=lg10x=lg x,f(10)=lg 10=1,故选A.
2.函数y=lg2(x+1)的图象大致是( )
答案 C解析 函数y=lg2(x+1)的图象是把函数y=lg2x的图象向左平移一个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数,故选C.
A.y
6.已知函数f(x)=lg3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)
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