高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数多媒体教学ppt课件

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1.通过对有理指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)2.理解根式运算与指数运算的内在联系.(数学抽象)3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.(数学运算)
[激趣诱思]薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t的关系式为S=S0·1.057t,其中S0为侵害田地面积的初始值.如果求10年后侵害田地的面积,那么S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害田地的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?
知识点一:n次方根1.n次方根的定义:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 表示.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时正数a的正的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号- 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成± (a>0).负数没有偶次方根.(3)0的任何次方根都是0,记作 =0.
3.根式的定义:式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.4.根式的性质名师点析 1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
提示 不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.
知识点二:分数指数幂1.正数的正分数指数幂的意义:2.正数的负分数指数幂的意义:3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.
知识点三:指数幂的运算性质对于任意正数a,b和实数r,s,指数幂均满足下面的运算性质:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).名师点析 实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用性质:(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);
微思考为什么指数幂的运算法则要求a>0?
例1(1)27的立方根是　　　　;16的4次方根是　　　. (2)已知x6=2 019,则x=　　　. 
要点笔记 根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.
例2求下列各式的值:
延伸探究 (1)该例中的(2),若x3呢?解 由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.
反思感悟 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
变式训练2计算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
反思感悟 解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.
解 ∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
方法点睛 1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决.2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.
∵a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,∴a,b,c均不为1,∴1