人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布导学案，共7页。

很多服从二项分布的分布列的直观图都具有类似的正态曲线的特点．
知识点二 正态曲线及正态曲线的性质
1．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为φ(x)＝______________________.
其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的________和________．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在________的上方，并且关于直线________对称；
(2)曲线在________时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“________，________”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，________，曲线越“矮胖”；________，曲线越“高瘦”．
知识点三 正态分布
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ、σ的正态分布．记为：X～N(μ，σ2)．
知识点四 正态总体在三个特殊区间的概率
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.
上述结果可用图表示如下：
2．3σ原则
由P(μ－3σ知识点五 标准正态分布
数学期望为______，标准差为______的正态分布叫做标准正态分布，记做________．任意正态分布通过变换都可以化为标准正态分布．
[基础自测]
1．下列判断正确的是________．
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．
(3)正态曲线是一条钟形曲线．
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
3．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；
④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________.
题型一 正态分布的概念及正态曲线的性质
例1 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.
方法归纳
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))，由此性质结合图象可求σ.
跟踪训练1 (1)设两个正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq \\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)如图所示是正态分布N(μ，σeq \\al(2,1))，N(μ，σeq \\al(2,2))，N(μ，σeq \\al(2,3))(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
题型二 服从正态分布变量的概率问题
例2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
eq \x(状元随笔) (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
方法归纳
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
跟踪训练2 设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4题型三 正态分布的实际应用
eq \x(状元随笔) 1.若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
[提示] 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？
[提示] P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示] 由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5，5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
eq \x(状元随笔) 将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
方法归纳
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
教材反思
4．2.5 正态分布
新知初探·自主学习
知识点二
1.eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(x－μ2,2σ2) 数学期望 标准差
2．(1)x轴 x＝μ (2)x＝μ 中间高 两边低
(3)σ越大 σ越小
知识点四
68．3% 95.4% 99.7%
知识点五
μ＝0 σ＝1 X～N(0,1)
[基础自测]
1．解析：(1)错误，因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)正确．
(3)正确，由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)错误，因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
答案：(2)(3)
2．解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
答案：③
3．解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
答案：④
4．解析：∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq \f(1,2\r(π))，所以μ＝20.
由eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2\r(π))，得σ＝eq \r(2).
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝eq \f(1,2\r(π))·，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq \r(2))2＝2.
跟踪训练1 解析：(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
(2)由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：(1)A (2)A
例2 【解析】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.682 6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝eq \f(1,2)P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
【答案】 (1)C (2)见解析
跟踪训练2
解析：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X(2)P(－4例3 【解析】 μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
跟踪训练3 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝eq \f(1,2)P(μ－2σ＝eq \f(1,2)×0.954 4＋eq \f(1,2)×0.682 6＝0.818 5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.
最新课程标准
1.了解二项分布与正态曲线的关系．
2．能借助正态曲线的图象理解正态分布的性质和意义．(重点)
3．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)
4．了解标准正态分布在正态分布中的核心地位.