高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布导学案

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在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
知识点二 二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)，
于是得到X的分布列
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做____________．
知识点三 超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件(M[基础自测]
1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的概率是相等的；
④每次试验发生的条件是相同的．
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则eq \f(C\\al(2,3)C\\al(3,7),C\\al(5,10))表示( )
A．5件产品中有3件次品的概率
B．5件产品中有2件次品的概率
C．5件产品中有2件正品的概率
D．5件产品中至少有2件次品的概率
题型一 独立重复试验中的概率问题
例1 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
方法归纳
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为eq \f(2,3)，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．
题型二 二项分布
例2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
eq \x(状元随笔) (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．
方法归纳
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq \f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
题型三 超几何分布的分布列
例3 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
eq \x(状元随笔)
方法归纳
求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．
跟踪训练3 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
题型四 独立重复试验与二项分布综合应用
eq \x(状元随笔) 1.王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
例4 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
eq \x(状元随笔) (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝eq \f(2,3).
(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
方法归纳
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练4 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,6).现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
题型五 二项分布与超几何分布的综合应用
例5 在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱，
①若只允许抽奖一次，求中奖次数X的分布列；
②若只允许抽奖二次，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
eq \x(状元随笔) (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B(2，p)(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
方法归纳
区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点
1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M件，从所有元素中一次任取n件，这n件中含甲类元素数目X服从超几何分布．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是eq \f(2,3).
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为X，求X的分布列．
教材反思
4．2.3 二项分布与超几何分布
新知初探·自主学习
知识点一
重复地做n次 相互独立
知识点二
Ceq \\al(k,n)pkqn－k X～B(n，p)
知识点三
P(X＝m)＝eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
[基础自测]
1．解析：由n次独立重复试验的定义知①②③④正确．
答案：①②③④
2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为eq \f(1,2)，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,8).
答案：eq \f(3,8)
3．解析：根据超几何分布的定义可知Ceq \\al(2,3)表示从3件次品中任选2件，Ceq \\al(3,7)表示从7件正品中任选3件，故选B.
答案：B
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.
(2)①记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝Ceq \\al(2,5)×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为P＝Ceq \\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq \\al(1,5)×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝Ceq \\al(1,4)×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
【答案】 (1)①②④ (2)见解析
跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(20,27).
答案：eq \f(20,27)
例2 【解析】 (1)ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故ξ的分布列为
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k·eq \f(1,3)，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5.
故η的分布列为
跟踪训练2 解析：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))”，且事件A，B相互独立．
∴P(A∩B＋eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2).
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2))).
∴P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))4－k
＝Ceq \\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4(k＝0,1,2,3,4)．
∴随机变量ξ的分布列为
例3 【解析】 X的可能取值是1,2,3.
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)·C\\al(2,2),C\\al(3,8))＝eq \f(3,28)；
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)·C\\al(1,2),C\\al(3,8))＝eq \f(15,28)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6)·C\\al(0,2),C\\al(3,8))＝eq \f(5,14).
故X的分布列为
跟踪训练3 解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(3,3),C\\al(4,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,3),C\\al(4,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝7)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35).
故所求分布列为
(2)根据随机变量X的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).
例4 【解析】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,27)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(2,9)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27).
所以ξ的分布列为
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×\f(1,2)＋))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq \f(10,34)，
P(D)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq \f(4,35)，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)
＝eq \f(10,34)＋eq \f(4,35)＝eq \f(34,35)＝eq \f(34,243).
跟踪训练4 解析：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝eq \f(1,2)，P(Bj)＝eq \f(1,3)，P(Ck)＝eq \f(1,6).
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3! P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,6).
(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2,9)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27).
故ξ的分布列是
方法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3)，所以ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，即P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
例5 【解析】 (1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4),C\\al(1,10))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
因此X的分布列为
②从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,5)))
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,6)＋C\\al(2,4)C\\al(0,6),C\\al(2,10))＝eq \f(30,45)＝eq \f(2,3).
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(2,6),C\\al(2,10))＝eq \f(15,45)＝eq \f(1,3)，P(Y＝10)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,6),C\\al(2,10))＝eq \f(18,45)＝eq \f(2,5)，
P(Y＝20)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(0,6),C\\al(2,10))＝eq \f(3,45)＝eq \f(1,15)，P(Y＝50)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,6),C\\al(2,10))＝eq \f(6,45)＝eq \f(2,15)，
P(Y＝60)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,3),C\\al(2,10))＝eq \f(3,45)＝eq \f(1,15).
因此随机变量Y的分布列为
跟踪训练5 解析：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，
则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(C\\al(1,4)×C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5)，
P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＋Ceq \\al(2,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(1,27)＋eq \f(2,9)＝eq \f(7,27)，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P(eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(7,27)＝eq \f(128,135).
(2)由题知X的可能取值是1,2.
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)×C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)×C\\al(1,2)＋C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(4,5)，
则X的分布列为
最新课程标准
1.理解n次独立重复试验的模型．
2．理解二项分布；能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
3．理解超几何分布及其推导过程．(重点、难点)
4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
ξ
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(32,243)
eq \f(80,243)
eq \f(80,243)
eq \f(40,243)
eq \f(10,243)
eq \f(1,243)
η
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,9)
eq \f(4,27)
eq \f(8,81)
eq \f(16,243)
eq \f(32,243)
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(3,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)
X
1
2
3
P
eq \f(3,28)
eq \f(15,28)
eq \f(5,14)
X
5
6
7
8
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
ξ
0
1
2
3
p
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
ξ
0
1
2
3
p
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
X
0
1
P
eq \f(3,5)
eq \f(2,5)
X
0
1
2
P
eq \f(9,25)
eq \f(12,25)
eq \f(4,25)
Y
0
10
20
50
60
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,5)
eq \f(1,15)
eq \f(2,15)
eq \f(1,15)
X
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(4,5)