2021学年3.1.3 组合与组合数学案及答案

这是一份2021学年3.1.3 组合与组合数学案及答案，共6页。

知识点一 组合的概念
一般地，从n个不同对象中，任意取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中任取m个对象的一个组合．
知识点二 组合数的概念
从n个不同对象中，任意取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中，任意取出m个对象的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
知识点三 组合数公式及其性质
(1)公式：Ceq \\al(m,n)＝________＝________.
(2)性质：Ceq \\al(m,n)＝________，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝________.
(3)规定：Ceq \\al(0,n)＝________.
[基础自测]
1．下列判断不正确的是( )
(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同．
(2)从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为Ceq \\al(2,3).
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．
A．(1) B．(2)
C．(3) D．(4)
2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3．Ceq \\al(2,6)＝________，Ceq \\al(17,18)＝________.
4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.
题型一 组合的概念
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
方法归纳
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
题型二 组合数公式的应用
根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．例2 (1)计算Ceq \\al(4,10)－Ceq \\al(3,7)·Aeq \\al(3,3)；
(2)求证：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(m＋1,n＋1)Ceq \\al(m＋1,n＋1).
方法归纳
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)简化运算．跟踪训练2 求等式eq \f(C\\al(5,n－1)＋C\\al(3,n－3),C\\al(3,n－3))＝eq \f(19,5)中的n值．
题型三 组合的性质
eq \x(状元随笔) 1.试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
[提示] 方法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共Ceq \\al(3,5) ＝eq \f(5×4×3,3×2×1) ＝10(种)选法．
方法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共Ceq \\al(2,5) ＝eq \f(5×4,2) ＝10(种)不同选法．
经求解发现Ceq \\al(3,5) ＝Ceq \\al(2,5).推广到一般结论有Ceq \\al(m,n) ＝Ceq \\al(n－m,n).
2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
[提示] 共有Ceq \\al(6,10) ＝eq \f(10×9×8×7×6×5,6×5×4×3×2×1) ＝210(种)选法．
3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
[提示] 若队长必须参加，共Ceq \\al(5,9) ＝126(种)选法．若队长不能参加，共Ceq \\al(6,9) ＝84(种)选法．
由2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：Ceq \\al(6,10) ＝Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(6,9).
一般地：Ceq \\al(m,n＋1) ＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
例3 (1)计算Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(3,2 018)的值为( )
A．Ceq \\al(4,2 019) B．Ceq \\al(5,2 019)
C．Ceq \\al(4,2 019)－1 D．Ceq \\al(5,2 019)－1
恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(2)解方程Ceq \\al(x,14)＝Ceq \\al(2x－4,14)的解为________．
(3)解不等式Ceq \\al(4,n)＞Ceq \\al(6,n).
方法归纳
1．性质“Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Ceq \\al(m,n)中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练3 (1)化简：Ceq \\al(9,m)－Ceq \\al(9,m＋1)＋Ceq \\al(8,m)＝________；
(2)已知Ceq \\al(7,n＋1)－Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(8,n)，求n的值．
教材反思
3．1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及组合数性质
新知初探·自主学习
知识点一
一组
知识点二
所有组合
知识点三
(1)eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m)) eq \f(n！,m！n－m！) (2)Ceq \\al(n－m,n) Ceq \\al(m,n＋1) (3)1
[基础自测]
1．解析：(1)正确．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)正确．由组合数的定义可知正确．
(3)错误．因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)正确．因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
答案：C
2．解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为Ceq \\al(2,3)＝eq \f(3×2,2)＝3.
答案：3
3．解析：Ceq \\al(2,6)＝eq \f(6×5,2)＝15，
Ceq \\al(17,18)＝Ceq \\al(1,18)＝18.
答案：15 18
4．解析：从四个数中任取两个数的取法为Ceq \\al(2,4)＝6.
答案：6
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
跟踪训练1 解析：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
例2 【解析】 (1)原式＝Ceq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,7)＝eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明：∵右边＝eq \f(m＋1,n＋1)Ceq \\al(m＋1,n＋1)＝eq \f(m＋1,n＋1)·eq \f(n＋1！,m＋1！n－m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)＝Ceq \\al(m,n)，
左边＝Ceq \\al(m,n)，∴左边＝右边，故原式成立．
跟踪训练2 解析：原方程可变形为eq \f(C\\al(5,n－1),C\\al(3,n－3))＋1＝eq \f(19,5)，Ceq \\al(5,n－1)＝eq \f(14,5)Ceq \\al(3,n－3)，
即eq \f(n－1n－2n－3n－4n－5,5！)
＝eq \f(14,5)·eq \f(n－3n－4n－5,3！)，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．
例3 【解析】 (1)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(3,2 018)
＝Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋…＋Ceq \\al(3,2 018)－Ceq \\al(4,4)
＝Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,5)＋…＋Ceq \\al(3,2 018)－1＝…
＝Ceq \\al(4,2 018)＋Ceq \\al(3,2 018)－1＝Ceq \\al(4,2 019)－1.
(2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))
解得x＝4或6.
(3)由Ceq \\al(4,n)＞Ceq \\al(6,n)，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n！,4！n－4！)>\f(n！,6！n－6！)，,n≥6))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2－9n－10<0，,n≥6，))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
【答案】 (1)C (2)4或6 (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)原式＝(Ceq \\al(9,m)＋Ceq \\al(8,m))－Ceq \\al(9,m＋1)＝Ceq \\al(9,m＋1)－Ceq \\al(9,m＋1)＝0.
(2)根据题意，Ceq \\al(7,n＋1)－Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(8,n)，
变形可得Ceq \\al(7,n＋1)＝Ceq \\al(8,n)＋Ceq \\al(7,n)，
由组合数的性质，可得
Ceq \\al(7,n＋1)＝Ceq \\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
答案：(1)0 (2)见解析
最新课程标准
1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)
2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)