甘肃省天水市一中2022届高三上学期第三次考试数学（理）试题含答案

这是一份甘肃省天水市一中2022届高三上学期第三次考试数学（理）试题含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

数学试题（理科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设集合，，则（ ）
A．B．（3，4]C．（3，4）D．（4，）
2．欧拉恒等式(为虚数单位，为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
3．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．C．D．
6．《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米
C．2.043米D．2.945米

7．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（ ）
A．8B．
C．D．
8．已知是等比数列，是其前项积，若，则（ ）
A．1024B．512C．256D．128
9．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数在的值域为（ ）
A． B．C．D．
10．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数．若，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为_____．
14．设实数满足约束条件，则的最大值是_____．
15．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_____．
16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题:共60分．
17．（12分）
在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，求的最小值．
18．（12分）
2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学．该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：[10,20)、[20,30)、[30,40)、[40,50) 、[50,60]，并得到如下频率分布直方图：
频率/组距
错题数（个）
（1）请根据以上信息，求a的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；
（2）为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访．已知错题数在[30,40)和[50,60)的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在[30,40)的回答3个问题，错题数在[50,60)的回答5个问题，各个问题均不相同．用X表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求X=13的概率．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20．（12分）
在① ，；② ，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列的前项和是，数列的前项和是，________________________．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，证明：．
（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则按第一个解答计分）
21．（12分）
已知函数．
（1）若，求函数的极值点；
（2）若函数存在两个不同的零点，，证明：．
（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为．
（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；
（2）设与相交于两点，求的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，，，求证．
天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试
数学答案（理科）
一、选择题(本题共12题，每小题5分，共60分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.﹣11 14.7 15.36π 16.
解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．解：(1) ∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，
∴，∴，∴，∴．
(2) 由 (1)及得，所以
当且仅当时取等号，所以的最小值为
18．解：（1）根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于[30,40)之间，设中位数为，则，解得，故中位数为
（2）因为[50,60)和[30,40)频率比为，按照分层抽样抽取5人，则[50,60)中抽2人，[30,40)中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[50,60)的回答5道题，年龄[30,40)的回答3道题，回答题目总个数为个，则从[50,60)的2人中抽2人，从[30,40)的3人中抽1人，则概率
19．解：（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，所以，所以平面.
因为，所以平面；
（2）过在平面内作的垂线，知与，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，
有，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，，，所以；
设平面的法向量为，，，
则，即，所以，令，可得，
所以；设二面角的平面角为，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
20．解：选条件①：
（1）由可得，两式相减可得：，所以，
在中令，可得，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）由（1）知，设，
，
两式相减可得

所以，即；
选条件②：
（1）由可得两式相减可得：，即，所以，
在中，令，可得：，所以，所以由，
， ……，，所以，
从而，所以，.
故数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以.
21.解：（1）由题易知，函数的定义域为，
当时，，
令函数，则.
因为，所以，故函数在上单调递减，
又，所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减.
所以函数只有一个极大值点，没有极小值点.
（2）由函数的两个零点分别为，，不妨令.
所以，即，即，
所以，.
要证明，即证，即证.
因为，所以即证，
即证，也就是证.
令，则，即证.令，
则，故函数在上单调递增，
所以，即，所以.
22．解：（1）的参数方程为（为参数）．
由得，的直角坐标方程是．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．
因为，，，所以．
所以 ，
当时等号成立．因此取最小值．
23．解：（1），取等号时，，
即，故m=4．
（2）由（1）a+b=4，所以．
因为，取等号时，，因为a+b=4，所以a=，．故．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
D
A
B
D
B
A
C
B
D