高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课堂教学ppt课件

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1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.(数学抽象)2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象)3.会判断(或证明)函数的奇偶性.(逻辑推理)
[激趣诱思]在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题:上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?
知识点一:奇、偶函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,
名师点析 对函数奇偶性定义的理解函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.
微思考(1)若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点?提示 定义域关于原点对称.(2)对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢?提示 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
知识点二:奇、偶函数的图象特征(1)偶函数的图象关于y轴对称;反之,结论也成立,即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图象关于原点对称;反之,结论也成立,即图象关于原点对称的函数一定是奇函数.名师点析 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0微思考(1)如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提示 f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上?若f(x)为偶函数呢?提示 若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图象上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图象上.
例1判断下列函数的奇偶性:
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.(方法1)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
(4)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解 (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
反思感悟 利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
延伸探究 若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
1.奇偶函数的图象性质例3已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解 (1)由题意作出函数图象如图,(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
要点笔记 由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
变式训练2(2021北京西城高三期末)已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(　　)A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2答案 C解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.
2.利用奇偶函数的性质求解析式中的参数例4(2021湖南五市十校高一联考)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=　　　　　. 
要点笔记 利用奇偶性求参数的方法:(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
变式训练3(2021上海嘉定高一期末)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m=　　　　　. 答案 ±1解析 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(　　)A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)方法点睛 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
变式训练已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解 (1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是R上的奇函数.
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(　　)A.-1B.1C.0D.2答案 A解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数答案 D解析 由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=　　　　　. 答案 4解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
5.(2021湖南常德鼎城高一期中)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式;(2)画出函数f(x)的图象.
解 (1)①当x=0时,f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,