人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念优质导学案及答案

7.1.2　复数的几何意义

知识点1　复数的几何意义

1．复平面

(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；

(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；

(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；

(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：

复数z＝a＋bi平面向量．

实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？

[提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(　　)

A．(3，－5)　　　　　　 B．(3,5)

C．(3，－5i)   D．(3,5i)

A　[复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．]

2．若＝(0，－3)，则对应的复数(　　)

A．等于0

B．等于－3

C．在虚轴上

D．既不在实轴上，也不在虚轴上

C　[向量对应的复数为－3i，在虚轴上．]

知识点2　复数的模

1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|(a，b∈R)．

2．求法：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R．

3．模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离．

3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数的模一定是正实数． (　　)

(2)两个复数相等，它们的模一定相等，反之也成立． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．

　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝．]

知识点3　共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi．

5．复数z＝－3－2i的共轭复数＝________，||＝________．

－3＋2i　　[z＝－3－2i的共轭复数＝－3＋2i，||＝＝．]

类型1　复数与复平面内的点的关系

【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内；

(2)在复平面内的x轴上方．

[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，

则

解得a＜－3．

(2)点Z在x轴上方，

则

解得a＞5或a＜－3．

即当a＞5或a＜－3时，点Z在x轴上方．

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．

(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．

1．若关于实数x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第________象限．

二　[因为mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以所以m＜0，p＞0，故复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第二象限．]

类型2　复数与复平面内向量的对应

【例2】　(对接教材P71例2)在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．

(1)求向量＋和对应的复数；

(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．

[解]　(1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，则＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，

因此＋＝(1,1)，＝－＝(1，－4)，

故＋对应的复数为1＋i，

对应的复数为1－4i．

(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，

若设D(x0，y0)，

则有解得故D(3,7)．

即顶点D对应的复数为3＋7i．

法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，

由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，

所以＝＋＝(3,7)，于是D(3,7)．

即顶点D对应的复数为3＋7i．

复数与向量的对应和转化

对应：复数z与向量是一一对应关系．

转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．

解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理．

2．(1)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　)

A．－2－i　　B．1＋2i　　C．－2＋i　　D．－1＋2i

(2)在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)

A．2    B．－2i    C．－3i    D．3＋i

(1)C　(2)B　[(1)由题意得A(－1,2)，则B(－2,1)，所以向量表示的复数为－2＋i．

(2)复数3－i对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i．]

类型3　复数的模及其应用

【例3】　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1    B．    C．    D．2

(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________．

1．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？

[提示]　|z|＝，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离．

2．复数z满足|z－i|＝1，其几何意义是什么？

[提示]　由|z－i|＝1可知点z到点(0,1)的距离为1．

(1)B　(2)－15＋8i　[(1)因为x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，

|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B．

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则|z|＝，

代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，

∴解得

∴z＝－15＋8i．]

1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝．

2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．

3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．

3．若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．

　[∵z为实数，∴a2－a－6＝0，

∴a＝－2或3．∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，

∴z1＝2－5i，∴|z1|＝．]

4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

[解]　法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝，

由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．

法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．

由图可知：－<a<．

1．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

C　[复数z的共轭复数＝－2－i，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．]

2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)

A．－1＋i   B．1－i

C．－5－5i   D．5＋5i

D　[由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)，

∴＝－＝(5,5)，

∴向量对应的复数为5＋5i，故选D．]

3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)

A．1或3　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．2

A　[依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．]

4．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．

－2＋3i　[∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i．]

5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________．

∪　[因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，所以解得m＜或m＞，

即实数m的取值范围是m＜或m＞．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)复平面的概念是什么？

(2)复数与复平面内的点有什么关系？

(3)复数与复平面内的向量有什么关系？

(4)如何求复数的模？