高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀第4课时学案

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第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例学 习 任 务核 心 素 养1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1．通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养．2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养．在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？知识点1　基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．1．在本课时情境与问题中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？[提示]　利用正弦定理和余弦定理．知识点2　测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°． (如图所示)2．李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示]　东南方向．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　)(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得． (　　)(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)A．α＋β　　　　　　　　 B．α－βC．β－α   D．αC　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为________．2或　[如图，在△ABC中，由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或．] 类型1　测量距离问题【例1】　(对接教材P49例9)海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)A．10 海里　　　　　 B． 海里C．5 海里   D．5 海里D　[根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°．由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]测量距离问题有哪些类型？如何求解？[提示]　当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A，B间不可达也不可视测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝B，C与点A可视但不可达测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝C，D与点A，B均可视不可达测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin 30°＝60(m)．] 类型2　测量高度问题【例2】　(对接教材P50例10)济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°．你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m) [解]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．在△ABD中，根据正弦定理，得＝．∴BD＝＝≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m．测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，C的大小，AB＝a·tan C底部不可达点B与C，D共线测得CD＝a及∠ACB与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值2．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　)A．a m　　　B． m　　　C．a m　　　D．a mA　[由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a(m)，故选A．] 类型3　角度问题【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值) 1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4 km，从B到C，方位角是120°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是3 km，试画出示意图．[提示]　如图所示：2．在上述问题中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？[提示]　在问题1的图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8 (km/h)．[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，得sin∠BAC＝＝，则cos∠BAC＝＝．又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝．(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．[解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°．由正弦定理得＝，即＝．所以x＝＝＝14(海里/小时)．故乙船的速度为14海里/小时．解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解]　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 n mile/h．(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝．1．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)A． km　　　B． km　　　C．1.5 km　　　D．2 kmA　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．]2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)A．8(＋)海里/时   B．8(－)海里/时C．16(＋)海里/时   D．16(－)海里/时D　[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°．由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]3．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m．200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m．故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1) m．]4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：(1)A处与D处之间的距离为________；(2)灯塔C与D处之间的距离为________．(1)24海里　(2)8海里　[由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为8海里．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)仰角、俯角、方向角的定义是什么？(2)如何求解实际问题中的距离、高度及角度问题？秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即S＝．你能证明这个公式吗？“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2 B)，又因为cacos B＝，所以S2＝，从而可知S＝．