高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率优秀导学案

10.1.3　古典概型

知识点1　概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．

知识点2　古典概型的定义

试验具有如下共同特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？

(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？

[提示]　(1)不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．

(2)不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何一个事件都是一个样本点． (　　)

(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)

(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．下列试验是古典概型的有________．(填序号)

(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；

(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；

(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．

(3)　[(1)这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性．而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型．

(2)属于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．

(3)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型．]

知识点3　古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．1

C　[从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝．]

4．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．

　[用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为＝．]

类型1　古典概型的判断

【例1】　下列是古典概型的是(　　)

A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时

B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时

C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

C　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]

判断一个试验是否为古典概型的依据是什么？

[提示]　判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．

1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

①②④　[①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]

类型2　较简单的古典概型问题

【例2】　(对接教材P236例9)某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．

[解]　只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{ (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，

所以检测出不合格产品的概率为＝．

求解古典概率“四步”法

2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：

(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率．

[解]　(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．

用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝＝．

(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝．

类型3　较复杂的古典概型问题

【例3】　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，

则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，

即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为．

(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C．

则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．

所以P(B)＝＝．

事件C包含的样本点共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．

所以P(C)＝．因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：

1试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.

2计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.

3．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．

(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；

(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．

[解]　记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2．

(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．

其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．

故选出的2名职工性别相同的概率为＝．

(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种．

其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，其9种．

故选出的2名职业来自同一工厂的概率为＝．

1．下列试验是古典概型的是(　　)

A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}

B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0

C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面

D．某人射击中靶或不中靶

C　[根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．]

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝＝．]

3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[如图：

基本事件的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件有10个，故所求概率P＝＝．故选A．]

4．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹王中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为＝．故选A．]

5．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2,6)，则向量p与q共线的概率为________．

　[∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6＝36种结果，

满足条件的事件是使向量p＝(m，n)与q＝(2,6)共线，即6m－2n＝0，∴n＝3m，

满足这种条件的有(1,3)，(2,6)，共有2种结果，

∴向量p与q共线的概率P＝＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何判断一个试验是不是古典概型？古典概型的特征有哪些？

(2)古典概型的概率公式是什么？