人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品导学案及答案

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

知识点　平面向量数乘运算的坐标表示

1．数乘运算的坐标表示

(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．

(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

2．平面向量共线的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．

(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？

[提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝． (　　)

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线． (　　)

(3)若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2 ．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________．

(－1,3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)．]

3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．

－4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]

4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．

－9　[＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即∥，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．]

类型1　向量数乘的坐标运算

【例1】　(对接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝(　　)

A．(2，－3)　　　　　　 B．(－2，－3)

C．(－2,3)   D．(2,3)

(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)则a＋2b－3c的坐标是________．

(1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以＝(1，－6)，＝(3,9)，所以＋＝(2，－3)．

(2)因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)．]

向量数乘坐标运算的三个关注点

(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用．

(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题．

(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．

1．如图，已知||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

C　[建立如图所示的平面直角坐标系，

根据条件不妨设A(1,0)，

则B，C，

则由＝x＋y得

＝x(1,0)＋y，

所以解得x＝2，y＝1，

所以x＋y＝3．]

类型2　向量共线的坐标表示及应用

　向量共线的判定与证明

【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)

B．a＝(2,3)，b＝(3,2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)

D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)

(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

(1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故选D．]

(2)[解]　∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，

＝(2－1,7－5)＝(1,2)．

又2×2－4×1＝0，

∴∥．

又＝(2,6)，＝(2,4)，

∴2×4－2×6≠0，

∴A，B，C不共线，

∴AB与CD不重合，

∴AB∥CD．

向量共线的判定方法

提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．

　已知平面向量共线求参数

【例3】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

[解]　法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，

使ka＋b＝λ(a－3b)．

由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，

所以

解得k＝λ＝－．

当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

因为λ＝－<0，

所以ka＋b与a－3b反向．

法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(10，－4)，

因为ka＋b与a－3b平行，

所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，

解得k＝－．

这时ka＋b＝＝－(a－3b)，

所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．

利用向量平行的条件处理求值问题的思路

(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．

(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．

　[由题可得2a＋b＝(4,2)，

∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，

∴4λ－2＝0，即λ＝．]

3．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．

[证明]　＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8,4)，

∵7×4－×8＝0，

∴∥，且，有公共点A，

∴A，B，C三点共线．

类型3　共线向量与线段分点坐标的计算

【例4】　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．

1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？

[提示]　如图所示，

∵P为P1P2的中点，

∴＝，

∴－＝－，

∴＝(＋)

＝，

∴线段P1P2的中点坐标是．

2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？

[提示]　点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：

①当＝时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋

＝；

②当＝时，

＝＋＝＋

＝＋(－)

＝＋

＝．

3．当＝λ(λ≠－1)时，点P的坐标是什么？

[提示]　∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，

∴＝

＝(x1，y1)＋(x2，y2)

＝＋

＝，

∴P．

[解]　设P点坐标为(x，y)，||＝2||．

当P在线段AB上时，＝2，

∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，

∴解得∴P点坐标为．

当P在线段AB延长线上时，＝－2，

∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，

∴解得

∴P点坐标为(－5,8)．

综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．

求点的坐标时注意的问题

(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为．

(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．

(3)若＝λ(λ≠0)，

①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；

②λ＝1时，P与P2重合；

③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；

④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．

4．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

[解]　因为＝＝(0,5)＝，

所以C．

因为＝＝(4,3)＝，

所以D．

设M(x，y)，则＝(x，y－5)，

＝＝．

因为∥，

所以－x－2(y－5)＝0，

即7x＋4y＝20． ①

又＝，＝，

因为∥，所以x－4＝0，

即7x－16y＝－20．②

联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为．

1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则等于(　　)

A．(0,5)　　　B．(0,1)　　　C．(2,5)　　　D．(2,1)

D　[＝(－)＝(2,6)－(－2,4)＝(2,1)．]

2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　)

A．(1，－2)   B．(9,3)

C．(－2,4)   D．(－4，－8)

D　[由题意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D．]

3．与向量a＝(－3,4)平行的单位向量是________．

或　[设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，

则 ∴ 或 ]

4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．

(－4，－8)　[∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，

∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，

∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]

5．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．

{m|m≠6}　[∵A，B，C三点能构成三角形，

∴，不共线．

又∵＝(1,1)，＝(m－2,4)，

∴1×4－1×(m－2)≠0，解得m≠6．

∴m的取值范围是{m|m≠6}．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)若a＝(x，y)，则λa等于什么？

(2)向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？