高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀导学案

微专题1　球的切、接问题

1．空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球．空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球．

2．几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点，尤其是几何体的外接球问题，近几年的高考试题中都有出现．归结起来这类问题主要包括两种类型：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积；解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后再运用球的体积(或表面积)公式进行计算得出结果．

类型1　球与正方体的切、接问题

【例1】　半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________．

18π　[法一：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝．在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，所以R＝3．

故V半球＝×πR3＝18π．

法二：将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其体对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝a＝3．

故V半球＝×πR3＝18π．]

类型2　球与四面体的切、接问题

【例2】　已知三棱锥P­ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P­ABC的内切球的表面积为________．

　[由题意，设三棱锥P­ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P ­ABC＝V三棱锥O ­PAB＋V三棱锥O ­PAC＋V三棱锥O ­PBC＋V三棱锥O ­ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××××r，解得r＝．故内切球的表面积为4πr2＝．]

类型3　球与直棱柱的切、接问题

【例3】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．πa2　　　B．πa2　　　C．πa2　　　D．5πa2

B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．

∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2．]

类型4　球与圆锥(圆柱)的切、接问题

【例4】　一个圆柱形容器，它的底面直径为2r，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，则将球从容器内取出后，容器内水面的高是________．

r　[设取出球后水面的高为x，则πr2×2r－πr3＝πr2×x，解得x＝r．故将球从容器内取出后，容器内水面的高是r．]