高中数学8.6 空间直线、平面的垂直学案

8.6　空间直线、平面的垂直

8.6.1　直线与直线垂直

知识点　异面直线所成的角

1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．

3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．

异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？

[提示]　相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．

1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)

A．共面　　　　　　 B．平行

C．异面   D．平行或异面

D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]

2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；

(2)AD与BC′所成的角为________．

(1)60°　(2)45°　[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．

由△A′BC′为正三角形，

知∠A′BC′＝60°，

(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．

易知∠C′BC＝45°．]

类型1　异面直线所成的角

【例1】　如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′．

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？

[提示]　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．

2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？

[提示]　异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．

[解]　(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°．

(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．

求异面直线所成角的方法步骤是什么？

[提示]　(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．

(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．

1．如图，已知在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．

(1)BC和A′C′所成的角为________；

(2)AA′和BC′所成的角为________．

(1)45°　(2)60°　[(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°．

(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°．

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°．]

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________．

　[将正方体ABCD­A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个如图所示的长方体，连接CE1，ME1．

因为DB1∥CE1，

所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a．在三角形MCE1中，

CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，

那么cos∠MCE1＝＝．]

类型2　直线与直线垂直的证明

【例2】　(对接教材P147例2)如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．

[证明]　法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G．

则OG∥B1D，EF∥A1C1．

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1．

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．

∴DB1⊥EF．

法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，

则HEDB1．于是∠HEF为所求

异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，

则EF＝，HE＝，

取A1D1的中点I，连接HI，IF，

则HI⊥IF．

∴HF2＝HI2＋IF2＝．

∴HF2＝EF2＋HE2．∴∠HEF＝90°．

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．

∴DB1⊥EF．

证明两条异面直线垂直的步骤

(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．

(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或其补角)．

(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．

(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．

3．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3．

求证：AC⊥BD．

[证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，

∴GE∥BD，同理GF∥AC．

∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，

满足FG2＋GE2＝EF2，

∴∠FGE＝90°．

即异面直线AC与BD所成的角是90°．

∴AC⊥BD.

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)

A．异面　　　　　　 B．平行

C．相交   D．以上都有可能

D　[当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．]

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

A．45°   B．60°

C．90°   D．120°

B　[取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG．易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°．]

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．

60°　[连接AD1，则AD1∥BC1．∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

AC＝AD1＝CD1，

∴∠CAD1＝60°，

即AC与BC1所成的角为60°．]

4．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为________．

45°　[因为D，E分别是VB，VC的中点，

所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，

又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，

所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，

于是∠ABC＝45°，

故异面直线DE与AB所成的角为45°．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)异面直线所成角的定义是什么？

(2)异面直线所成角的范围与平面内两直线所成角的范围有什么不同？

(3)如何证明两条异面直线垂直？