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2021--2022学年人教版八年级上册数学期末模拟检测试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021--2022学年人教版八年级上册数学期末模拟检测试卷（一）（word版 含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm.那么它的第三边的长是（ ）
A. 3cm B. 4cm
C. 7cm D. 3cm或7cm
2.下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
4.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2 B. 15x2y＝3x·5xy
C. 2（x＋y）＝2x＋2y D. x2＋6x＋9＝（x＋3）2
5.如果把分式 3xy4x−3y 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍 C. 缩小为原来的3倍 D. 不变
6.计算 x2⋅(−x)3 的结果是（ ）
A. x4 B. -x6 C. x5 D. -x5
7.关于 x 的方程 3x−1x+1−mx+1=1 有增根，则 m 的值是（ ）
A. -1 B. 4 C. -4 D. 2
8.若分式 |x|−5x+5 的值为0，则 x 的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. -5和5 D. 无法确定
9.化简 (m2m−2+42−m)÷(m+2) 的结果是( )
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. (m+2)2
10.如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A ， B为圆心，以大于 12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M ， N ， 作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ， BC于点E ， F ， 再分别以点E ， F为圆心，大于 12 EF的长为半径画弧，两弧交于点P ． 若此时射线BP恰好经过点D ， 则∠A的大小是（ ）
A. 30° B. 32° C. 36° D. 42°
11.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A. 10cm B. 14cm C. 20cm D. 6cm
12.如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5
二、填空题
13.函数y＝ 2x−3 的自变量x的取值范围是________.
14.已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2＝________．
15.如图，已知△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有以下四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②△BRP≌△QSP；③QP∥AR；④△PQC是等边三角形，其中正确的有 个.
16.如图， △ABC 中， AB=AC ， ∠B=40° ， D 为线段 BC 上一动点（不与点 B ， C 重合），连接 AD ，作 ∠ADE=40° ， DE 交线段 AC 于 E .以下四个结论：
① ∠CDE=∠BAD ；
②当 D 为 BC 中点时， DE⊥AC ；
③当 △ADE 为等腰三角形时， ∠BAD=20° ；
④当 ∠BAD=30° 时， BD=CE .
其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上），
三、计算题
17.计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣（2a﹣1）2 （2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
先化简，再求值： (x2y−y)⋅3x+y 其中 3x−4y=0 ．
解方程： x−3x−2=32−x−1 .
四、解答题
20.如图，AD与BC相交于点O ， OA＝OC ， ∠A＝∠C ， BE＝DE ． 求证：BF＝DF ．
21.某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元．
(1)问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
(2)为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
(3)电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获得最大利润？最大利润是多少？
22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
23.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE ， ∠DBA=∠EAC ， AB=AC ， 易证：△ABD≌△CAE ． （不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE ， AD与CE交于点F ． 求证：△ABD≌△CAE ．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE ． △ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC ， 点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE ， ∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：若7cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋7＞7
∴3cm、7cm、7cm能构成三角形，故符合题意；
若3cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋3＜7
∴3cm、3cm、7cm不能构成三角形，故不符合题意；
综上：它的第三边的长是7cm.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系判断即可得出结论.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符不合题意；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，
∴n≥4.
又∵5＞4，
∴A符合题意，B、C、D不合题意.
故答案为：A.
【分析】公因式就是多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，据此求出可能的n的值.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，结果不是积的形式，故不是因式分解；
B. 15x2y＝3x·5xy ， 单项式没有因式分解概念，故不是因式分解；
C. 2（x＋y）＝2x＋2y ， 是整式的乘法，故不是因式分解；
D. x2＋6x＋9＝（x＋3）2 ， 是因式分解．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：将和的形式转换成乘积的形式逐项判定即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：把分式 3xy4x−3y 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，
则 3⋅3x⋅3y4⋅3x−3⋅3y=3⋅3xy4x−3y
故答案为：A．
【分析】把x和y的值都扩大为原来的3倍，再根据分式的性质计算，即可得答案．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：原式=x2×（-x3）=-x5
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的性质，化简式子，求出结果。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由分式方程有增根，得到 x+1=0 ，
解得： x=−1 ，
分式方程 3x−1x+1−mx+1=1 ，
去分母得 3x−1−m=x+1 ，
将 x=−1 代入 3x−1−m=x+1 中，
得： −3−1−m=−1+1 ，
解得： m=−4 ，
故答案为：C.
【分析】先判断出分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程中，求出m值即可.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：分式 |x|−5x+5 的值为0，
∴ |x|−5=0 且 x+5≠0 ，
解得： x=5 .
故答案为：B.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，建立关于x的方程和不等式，然后求出符合题意的x的值.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：原式＝ m2−4m−2 ÷（m+2），
＝ （m+2)(m−2)m−2×1m+2
＝1．
故答案为：B
【分析】根据整式的化简和分式的化简即可得出结果。
10.【答案】 B
【解析】【解答】由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C= 180° ，∠C＝84°，
∴∠A= 32° ，
故答案为：B．
【分析】根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ AC=BC ， ∠ACB=90° ， AD⊥DE ， BE⊥DE ，
∴ ∠ADC=∠CEB=90° ，
∴ ∠ACD+∠BCE=90° ， ∠ACD+∠DAC=90° ，
∴ ∠BCE=∠DAC ，
∵在 ΔADC 和 ΔCEB 中，
{∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC
∴ ΔADC≌ΔCEB(AAS) ；
∴ EC=AD=6cm ， DC=BE=14cm ，
∴ DE=DC+CE=20(cm) ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠ACDAE=CD ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
二、填空题
13.【答案】 x≠3的一切实数
【解析】【解答】解：根据题意，得
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数.
【分析】根据分式的分母不等于0列不等式求解即可.
14.【答案】 13
【解析】【解答】解：∵x+y=-5，
∴（x+y）2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵xy=6，
∴x2+y2=25-2xy=25-12=13，
故答案为：13．
【分析】把x+y=-5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．
15.【答案】 4
【解析】【解答】解： ∵PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC
∴ 点P在 ∠BAC 的平分线上，故①正确；
∵PQ=AQ
∴∠APQ=∠QAP
∵ AP平分 ∠BAC
∴∠QAP=∠BAP
∴∠APQ=∠BAP
∴QP//AR ，故③正确；
∵△ABC 为等边三角形
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
∵QP//AR
∴∠BAC=∠PQS=60°
∴△PQC 是等边三角形，故④正确；
∴ 在 △BRP 和 △QSP 中
{∠B=∠PQS∠PRB=∠PSQPR=PS
∴ △BRP ≌ △QSP 故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为：4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得 ∠APQ=∠QAP ， ∠QAP=∠BAP ，所以 ∠APQ=∠BAP ，由内错角相等，两直线平行得出 QP//AR ，所以 ∴∠BAC=∠PQS=60° ， △PCQ 为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确.
16.【答案】 ①②④
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴ ∠BAD=180°−40°−∠ADB,∠CDE=180°−40°−∠ADB,
∴∠BAD=∠CDE，故①正确；
∵D为BC中点，AB=AC，如图，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=40°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADE=40°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
∵∠C=40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∴AE≠AD,
所以△ADE为等腰三角形， 分两种情况讨论：
当AE=DE时，
∴∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=60°，
当 AD=DE 时，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−40°)=70°，
∴∠BAD=100°−70°=30°，
所以当△ADE为等腰三角形， ∠BAD=30° 或 60°， 故③错误；
∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD=CE，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和以及平角可得 ∠CDE=∠BAD ，故①正确；②根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由三角形的内角和可得DE⊥AC，故②正确；③根据全等三角形的性质可得BD=CE，故③错误；④根据三角形外角的性质得∠AED＞40°，得∠ADE≠∠AED，由等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠BAD=60°，故④正确.
三、计算题
17.【答案】 （1）解：原式＝4a2﹣2a+1﹣4a2+4a﹣1＝2a
（2）解：原式＝x2+4x﹣6x﹣24+4﹣9x2＝﹣8x2﹣2x﹣20
【解析】【分析】（1）先根据多项式除以单项式的法则及完全平方公式去括号，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式的法则分别去括号，再合并同类项即可.
18.【答案】 解：原式 =x2−y2y⋅3x+y
=(x+y)(x−y)y⋅3x+y
=3x−3yy ；
∵3x−4y=0
∴3x=4y
原式 =4y−3yy=1 ．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再代入计算即可。
19.【答案】 解：方程两边都乘以x –2得：x-3=-3-(x-2)
2x=2
x=1
检验：当x=1时，x-2=－1 ≠0
∴x=1是原方程的解
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
四、解答题
20.【答案】 证明：在△AOB与△COD中，
{∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD ，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD，
∴BF＝DF．
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性质可得OB=OD，可得点O在线段BD的垂直平分线上，再利用垂直平分线的性质可得BE=DE，同理可得到BF=DF。
21.【答案】 解：(1)设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，则依题意，得
50000x＝400002000 ，
解之，得x＝2500，经检验x＝2500满足题意．
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元．
(2)设购进A型号彩电y台，则购进B型号彩电(20－y)台．根据题意可得：
1800y+150020−y≥320001800y+150020−y≤33000
解得203≤y≤10.
∵y是整数，∴y可取的值为7，8，9，10.
共有以下四种方案：
购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台；
购进A型号彩电8台，则购进B型号彩电12台；
购进A型号彩电9台，则购进B型号彩电11台；
购进A型号彩电10台，则购进B型号彩电10台．
(3)设利润为W元，则
W＝(2000－1800)y＋(1800－1500)(20－y)＝6000－100y
∵W随y的增大而减小，∴y取最小值7时利润最大．
W＝6000－100y＝6000－100×7＝5300(元)．
购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台时，利润最大，最大利润是5300元．
【解析】【分析】考查分式方程的应用，解决实际问题。
22.【答案】 （1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
23.【答案】 特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；归纳证明：证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：解：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBA．在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
【解析】【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC ， ∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE ， 利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE ．
归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC ， ∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE ， 利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；
拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．
1.如果等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm.那么它的第三边的长是（ ）
A. 3cm B. 4cm
C. 7cm D. 3cm或7cm
2.下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
4.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2 B. 15x2y＝3x·5xy
C. 2（x＋y）＝2x＋2y D. x2＋6x＋9＝（x＋3）2
5.如果把分式 3xy4x−3y 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍 C. 缩小为原来的3倍 D. 不变
6.计算 x2⋅(−x)3 的结果是（ ）
A. x4 B. -x6 C. x5 D. -x5
7.关于 x 的方程 3x−1x+1−mx+1=1 有增根，则 m 的值是（ ）
A. -1 B. 4 C. -4 D. 2
8.若分式 |x|−5x+5 的值为0，则 x 的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. -5和5 D. 无法确定
9.化简 (m2m−2+42−m)÷(m+2) 的结果是( )
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. (m+2)2
10.如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A ， B为圆心，以大于 12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M ， N ， 作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ， BC于点E ， F ， 再分别以点E ， F为圆心，大于 12 EF的长为半径画弧，两弧交于点P ． 若此时射线BP恰好经过点D ， 则∠A的大小是（ ）
A. 30° B. 32° C. 36° D. 42°
11.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A. 10cm B. 14cm C. 20cm D. 6cm
12.如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5
二、填空题
13.函数y＝ 2x−3 的自变量x的取值范围是________.
14.已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2＝________．
15.如图，已知△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有以下四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②△BRP≌△QSP；③QP∥AR；④△PQC是等边三角形，其中正确的有 个.
16.如图， △ABC 中， AB=AC ， ∠B=40° ， D 为线段 BC 上一动点（不与点 B ， C 重合），连接 AD ，作 ∠ADE=40° ， DE 交线段 AC 于 E .以下四个结论：
① ∠CDE=∠BAD ；
②当 D 为 BC 中点时， DE⊥AC ；
③当 △ADE 为等腰三角形时， ∠BAD=20° ；
④当 ∠BAD=30° 时， BD=CE .
其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上），
三、计算题
17.计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣（2a﹣1）2 （2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
先化简，再求值： (x2y−y)⋅3x+y 其中 3x−4y=0 ．
解方程： x−3x−2=32−x−1 .
四、解答题
20.如图，AD与BC相交于点O ， OA＝OC ， ∠A＝∠C ， BE＝DE ． 求证：BF＝DF ．
21.某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元．
(1)问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
(2)为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
(3)电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获得最大利润？最大利润是多少？
22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
23.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE ， ∠DBA=∠EAC ， AB=AC ， 易证：△ABD≌△CAE ． （不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE ， AD与CE交于点F ． 求证：△ABD≌△CAE ．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE ． △ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC ， 点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE ， ∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：若7cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋7＞7
∴3cm、7cm、7cm能构成三角形，故符合题意；
若3cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋3＜7
∴3cm、3cm、7cm不能构成三角形，故不符合题意；
综上：它的第三边的长是7cm.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系判断即可得出结论.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符不合题意；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，
∴n≥4.
又∵5＞4，
∴A符合题意，B、C、D不合题意.
故答案为：A.
【分析】公因式就是多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，据此求出可能的n的值.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，结果不是积的形式，故不是因式分解；
B. 15x2y＝3x·5xy ， 单项式没有因式分解概念，故不是因式分解；
C. 2（x＋y）＝2x＋2y ， 是整式的乘法，故不是因式分解；
D. x2＋6x＋9＝（x＋3）2 ， 是因式分解．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：将和的形式转换成乘积的形式逐项判定即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：把分式 3xy4x−3y 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，
则 3⋅3x⋅3y4⋅3x−3⋅3y=3⋅3xy4x−3y
故答案为：A．
【分析】把x和y的值都扩大为原来的3倍，再根据分式的性质计算，即可得答案．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：原式=x2×（-x3）=-x5
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的性质，化简式子，求出结果。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由分式方程有增根，得到 x+1=0 ，
解得： x=−1 ，
分式方程 3x−1x+1−mx+1=1 ，
去分母得 3x−1−m=x+1 ，
将 x=−1 代入 3x−1−m=x+1 中，
得： −3−1−m=−1+1 ，
解得： m=−4 ，
故答案为：C.
【分析】先判断出分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程中，求出m值即可.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：分式 |x|−5x+5 的值为0，
∴ |x|−5=0 且 x+5≠0 ，
解得： x=5 .
故答案为：B.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，建立关于x的方程和不等式，然后求出符合题意的x的值.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：原式＝ m2−4m−2 ÷（m+2），
＝ （m+2)(m−2)m−2×1m+2
＝1．
故答案为：B
【分析】根据整式的化简和分式的化简即可得出结果。
10.【答案】 B
【解析】【解答】由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C= 180° ，∠C＝84°，
∴∠A= 32° ，
故答案为：B．
【分析】根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ AC=BC ， ∠ACB=90° ， AD⊥DE ， BE⊥DE ，
∴ ∠ADC=∠CEB=90° ，
∴ ∠ACD+∠BCE=90° ， ∠ACD+∠DAC=90° ，
∴ ∠BCE=∠DAC ，
∵在 ΔADC 和 ΔCEB 中，
{∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC
∴ ΔADC≌ΔCEB(AAS) ；
∴ EC=AD=6cm ， DC=BE=14cm ，
∴ DE=DC+CE=20(cm) ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠ACDAE=CD ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
二、填空题
13.【答案】 x≠3的一切实数
【解析】【解答】解：根据题意，得
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数.
【分析】根据分式的分母不等于0列不等式求解即可.
14.【答案】 13
【解析】【解答】解：∵x+y=-5，
∴（x+y）2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵xy=6，
∴x2+y2=25-2xy=25-12=13，
故答案为：13．
【分析】把x+y=-5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．
15.【答案】 4
【解析】【解答】解： ∵PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC
∴ 点P在 ∠BAC 的平分线上，故①正确；
∵PQ=AQ
∴∠APQ=∠QAP
∵ AP平分 ∠BAC
∴∠QAP=∠BAP
∴∠APQ=∠BAP
∴QP//AR ，故③正确；
∵△ABC 为等边三角形
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
∵QP//AR
∴∠BAC=∠PQS=60°
∴△PQC 是等边三角形，故④正确；
∴ 在 △BRP 和 △QSP 中
{∠B=∠PQS∠PRB=∠PSQPR=PS
∴ △BRP ≌ △QSP 故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为：4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得 ∠APQ=∠QAP ， ∠QAP=∠BAP ，所以 ∠APQ=∠BAP ，由内错角相等，两直线平行得出 QP//AR ，所以 ∴∠BAC=∠PQS=60° ， △PCQ 为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确.
16.【答案】 ①②④
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴ ∠BAD=180°−40°−∠ADB,∠CDE=180°−40°−∠ADB,
∴∠BAD=∠CDE，故①正确；
∵D为BC中点，AB=AC，如图，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=40°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADE=40°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
∵∠C=40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∴AE≠AD,
所以△ADE为等腰三角形， 分两种情况讨论：
当AE=DE时，
∴∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=60°，
当 AD=DE 时，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−40°)=70°，
∴∠BAD=100°−70°=30°，
所以当△ADE为等腰三角形， ∠BAD=30° 或 60°， 故③错误；
∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD=CE，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和以及平角可得 ∠CDE=∠BAD ，故①正确；②根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由三角形的内角和可得DE⊥AC，故②正确；③根据全等三角形的性质可得BD=CE，故③错误；④根据三角形外角的性质得∠AED＞40°，得∠ADE≠∠AED，由等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠BAD=60°，故④正确.
三、计算题
17.【答案】 （1）解：原式＝4a2﹣2a+1﹣4a2+4a﹣1＝2a
（2）解：原式＝x2+4x﹣6x﹣24+4﹣9x2＝﹣8x2﹣2x﹣20
【解析】【分析】（1）先根据多项式除以单项式的法则及完全平方公式去括号，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式的法则分别去括号，再合并同类项即可.
18.【答案】 解：原式 =x2−y2y⋅3x+y
=(x+y)(x−y)y⋅3x+y
=3x−3yy ；
∵3x−4y=0
∴3x=4y
原式 =4y−3yy=1 ．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再代入计算即可。
19.【答案】 解：方程两边都乘以x –2得：x-3=-3-(x-2)
2x=2
x=1
检验：当x=1时，x-2=－1 ≠0
∴x=1是原方程的解
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
四、解答题
20.【答案】 证明：在△AOB与△COD中，
{∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD ，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD，
∴BF＝DF．
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性质可得OB=OD，可得点O在线段BD的垂直平分线上，再利用垂直平分线的性质可得BE=DE，同理可得到BF=DF。
21.【答案】 解：(1)设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，则依题意，得
50000x＝400002000 ，
解之，得x＝2500，经检验x＝2500满足题意．
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元．
(2)设购进A型号彩电y台，则购进B型号彩电(20－y)台．根据题意可得：
1800y+150020−y≥320001800y+150020−y≤33000
解得203≤y≤10.
∵y是整数，∴y可取的值为7，8，9，10.
共有以下四种方案：
购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台；
购进A型号彩电8台，则购进B型号彩电12台；
购进A型号彩电9台，则购进B型号彩电11台；
购进A型号彩电10台，则购进B型号彩电10台．
(3)设利润为W元，则
W＝(2000－1800)y＋(1800－1500)(20－y)＝6000－100y
∵W随y的增大而减小，∴y取最小值7时利润最大．
W＝6000－100y＝6000－100×7＝5300(元)．
购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台时，利润最大，最大利润是5300元．
【解析】【分析】考查分式方程的应用，解决实际问题。
22.【答案】 （1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
23.【答案】 特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；归纳证明：证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：解：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBA．在△ABD与△CAE中，{AB=CA∠DBA=∠EACBD=AE ，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
【解析】【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC ， ∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE ， 利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE ．
归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC ， ∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE ， 利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；
拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．
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