2020－2021学年北京市各区八年级上学期期末数学试题分类汇编—整式的乘法与因式分解

这是一份2020－2021学年北京市各区八年级上学期期末数学试题分类汇编—整式的乘法与因式分解，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2020·北京·101中学八年级期末）图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京朝阳·八年级期末）下列因式分解变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·北京西城·八年级期末）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·北京西城·八年级期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A．14B．9C．D．
二、填空题
5．（2020·北京丰台·八年级期末）分解因式：=______．
（2020·北京朝阳·八年级期末）分解因式：3a2+6a+3=_____．
7．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
8．（2020·北京朝阳·八年级期末）分解因式：_________．
（2020·北京西城·八年级期末）计算：________．
10．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．
11．（2020·北京朝阳·八年级期末）若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为_____．
12．（2020·北京丰台·八年级期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n=1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．
（1）当n=4时，的展开式中第3项的系数是_________；
（2）人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为_________．
13．（2020·北京西城·八年级期末）如图1，先将边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：________．（用含a，b的式子表示）

14．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a > 0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为_________．
三、解答题
15．（2020·北京朝阳·八年级期末）计算：．
（2020·北京朝阳·八年级期末）已知，求代数式的值．
（2020·北京朝阳·八年级期末）计算：（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．
18．（2020·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
19．（2020·北京丰台·八年级期末）已知，求代数式的值．
20．（2020·北京丰台·八年级期末）阅读下面的材料：
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足，判断△ABC的形状并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
本题可以根据两个图形变化前后的面积相等，得到本题结论．
【详解】
解：如图①，图中阴影部分的面积可表示为：
S阴=S大正方形-S小正方形
大正方形的面积为：（m+n）2，
小正方形的边长为：，
∴小形的面积为：m2+n2，
∴S阴=（m+n）2-（m2+n2）．
如图②，图中面积为4个直角三角形，
，
∴（m+n）2-（m2+n2）=2mn，
故选B．
【点睛】
本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．
2．B
【分析】
根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】
A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3．D
【分析】
A.根据同类项的定义解题；B.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解题；C.根据幂的乘方法则解题；D.根据积的乘方法则解题．
【详解】
A. 不是同类项，不能合并，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．A
【分析】
用整式的乘法法则将整理成，再结合已知条件，利用整体代入法解题即可．
【详解】
原式
故选：A．
【点睛】
本题考查已知式子的值，求代数式的值，涉及整体思想，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
6．3（a+1）2
【分析】
首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.
【详解】
3a2＋6a＋3＝．
故答案为．
考点：分解因式．
7．(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【分析】
根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
【详解】
∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【点睛】
本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．
8．2x（x+2）（x-2）
【分析】
先提取公因式2x，再利用平方差公式分解即可得．
【详解】
解：原式=2x（x2-4）
=2x（x+2）（x-2）；
故答案为：2x（x+2）（x-2）．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．
9．．
【分析】
根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了单项式除以单项式，掌握法则并熟练应用是解题关键．
10．（a+b）2-2ab = a2+b2
【分析】
利用各图形的面积求解即可．
【详解】
解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b）2-2ab，
故可得： （a+b）2-2ab = a2+b2
故答案为：（a+b）2-2ab = a2+b2
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．
11．﹣2019．
【分析】
原式中括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝（a3﹣2a2b﹣a3+2a2b﹣ab2）]÷b2＝﹣a，
当a＝2019时，原式＝﹣2019．
故答案为：﹣2019．
【点睛】
本题主要考查了整式乘法的运用，准确的展开并化成最简的式子，再把已知的数值代入求解，化简是关键一步．
12．6 128
【分析】
（1）当n=4时，的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，根据第五行的数即刻得出答案；
（2）的展开式的系数恰好对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可.
【详解】
解：（1）的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，为：1,4,6,4,1，故的展开式中第3项的系数是6；
（2）据题可知第八行的数为：1,7,21,35,35,21,7,1.故的展开式中各项的系数的和为：1+7+21+35+35+21+7+1=128.
故答案为：(1)6;(2)128.
【点睛】
本题考查完全平方公式，探索与表达规律.（1）能找出的展开式的系数与杨辉三角中行数之间的关系是解题关键；（2）中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第八行数是解题关键.
13．a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
【分析】
根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，根据图形面积不变可以写出含字母a，b的等式．
【详解】
解：由图可知，
图1中阴影部分面积为：a2−b2，
图2中阴影部分面积为：（a＋b）（a−b），
图1和图2的面积关系是：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
故答案为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
【点睛】
本题主要考查了列代数式，根据题意能正确列出代数式是解题的关键．
14．
【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．
【详解】
解：矩形的面积为：
（a+4）2-a2
=（a 2+8a+16）-a2
=a2+8a+16-a 2
=8a+16．
答：长方形的面积是（8a+16）cm2．
故答案为: .
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用.熟记完全平方公式是解题关键.
15．0．
【分析】
原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．
【详解】
解：
=
=
=0．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
16．19
【分析】
先通过整式的运算法则将代数式化简成，再整体代入求值．
【详解】
解：原式
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】
本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．
17．n2﹣2mn﹣4．
【分析】
根据平方差公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开运算即可．
【详解】
解：原式＝（m+n）2﹣4﹣m2﹣4mn，
＝m2+2mn+n2﹣4﹣m2﹣4mn，
＝n2﹣2mn﹣4．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，解题关键是掌握平方差公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则．
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；
（2）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．
19．5.
【分析】
先将化为，再对代数式进行化简，将整体代入即可.
【详解】
解：∵，
∴ .
原式

.
【点睛】
本题考查整式的混合运算，代数式求值——已知式子的值，求代数式的值.在化简过程中掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题关键，在代入值的过程中掌握整体思想，能整体代入是解题关键.
20．（1）；（2）△ABC是等腰三角形.
【分析】
（1）先利用完全平方公式将前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）分别利用提公因式法对等式的左边前两项和后两项因式分解，再利用提公因式法进一步因式分解，即可得出a，b，c的关系，依此判断三角形的形状．
【详解】
解：（1）原式=
=
=.
（2）∵，
∴.
∴ .
∴ 或.
∴ 或.
∴ △ABC是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定.（1）中熟练掌握完全平方公式和平方差公式，并能据此正确分组分解是解决此问的关键；（2）能正确分组分解，并根据两数（或式）之积为0，那么这两数（或式）至少有一个为0，得出a，b，c的关系是解题关键.