河南省焦作市普通高中2019-2020学年上高三年级第一次模拟考试理科数学试题

这是一份河南省焦作市普通高中2019-2020学年上高三年级第一次模拟考试理科数学试题，共14页。试卷主要包含了5C， 已知数列是等差数列，且，则， 已知是的重心，且，则实数等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：
某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. 9B. 6.5C. 4D. 3
5. 已知数列是等差数列，且，则（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
6. 某种微生物的繁殖速度与生长环境中的营养物质浓度相关，在一定条件下可用回归模型进行拟合.在这个条件下，要使增加2个单位，则应该（ ）
A. 使增加1个单位B. 使增加2个单位
C. 使增加到原来的2倍D. 使增加到原来的10倍
7. 已知是的重心，且，则实数（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
8. 某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②的一个周期为8；
③图像的一个对称中心为；
④图像的一条对称轴为.
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 将函数图像上所有的点按照向量平移得到函数的图像，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图所示，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若，且的面积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
12. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数为______.
14. 曲线在点处的切线方程为______.
15. 已知圆：，直线：与圆交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数______.
16. 已知数列是各项均为正数的等比教列，其前项和为，且，.若关于的不等式的解集中有6个正整数，则实数的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）证明：是等腰三角形；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的值.
18. 某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理， 每笼亏损20元.该包子店记录了60天包子的日需求量（单位：笼，），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率.
（Ⅰ）设为一天的包子需求量，求的数学期望.
（Ⅱ）若该包子店想保证以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？
（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设为当天的利润（单位：元），求的分布列和数学期望.
19. 如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，.
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20. 设椭圆：的左顶点为，右焦点为，已知.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）抛物线与直线交于，两点，直线与椭圆交于点（异于点），若直线与垂直，求的值.
21. 已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知，，为正数，且，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
焦作市普通高中2019—2020学年（上）高三年级第一次模拟考试
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5：ADCDA6-10：DCBCC11-12：BB
1.【答案】A
【解析】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意得，解得，即，所以.
2.【答案】D
【命题意图】本题考查复数的基本运算.
【解析】.
3.【答案】C
【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.
【解析】由题意得，体重＝BMI×身高，因为此人属于超标，所以，所以此学生的体重范围为，即，故正确答案为C.
4.【答案】D
【命题意图】本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想.
【解析】不等式组所表示的可行域为下图中的，当目标函数对应的直线经过点时，取得最小值3.
5.【答案】A
【命题意图】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想.
【解析】因为是等差数列，所以.
6.【答案】D
【命题意图】本题考查回归模型的概念.
【解析】，则，所以应该使增加到原来的10倍.
7.【答案】C
【命题意图】本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想.
【解析】.因为是的重心，所以，解得.
8.【答案】B
【命题意图】本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力.
【解析】将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示.因为，，所以，即的最小值为.
9.【答案】C
【命题意图】本题考查函数的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.
【解析】依题意知，是的对称轴，是的对称中心，所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故②正确；，故①正确；因为每隔半个周期出现一个对称中心，所以是函数的对称中心，故③正确；，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.故正确答案为C.
10.【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图像和性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.
【解析】令得图像的对称轴为，其中距离最近的对称轴为.点关于直线对称的点为.要使最小，则.
11.【答案】B
【命题意图】本题考查双曲线的基本性质及三角运算.
【解析】设，由题意可得，，所以，由，可得（负值舍去），又因为，所以.
12.【答案】B
【命题意图】本题考查函数的性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】函数的图象如图①.设，则.由，，得，.当时，，，.考虑.由图②可知，当时，，所以，即，故的最小值为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 60 14. 15. 1或 16.
13.【答案】60
【命题意图】本题考查二项式定理的应用.
【解析】展开式的通项为.令，得.
14.【答案】
【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归转化思想.
【解析】由，得.所以.所以曲线在点处的切线方程为，即.
15.【答案】1或
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.
【解析】由题意得，圆的半径为2，因为为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离，解得或.
16.【答案】
【命题意图】本题考查等比数列的求和公式以及数列与函数的综合问题.
【解析】由题意可知且，解得，所以，.由，得.结合函数，的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，则，解得，所以实数的取值范围为.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理及，得，即.
因为，所以，
所以是等腰三角形.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.
因为，
所以.
又，所以.
若，则，即，解得；
若，则，即，解得.
所以或.
18.【命题意图】本题考查条形图、概率的计算、随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）由题意得的数学期望为
.
（Ⅱ）因为，，
所以包子店每天至少要做19笼包子.
（Ⅲ）当时，；
当时，；
当时，.
所以的可能取值为600，660，720，且，，.
所以的分布列为
所以的数学期望为.
19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想.
【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，.
∵，∴.
∵四边形是菱形，且，
∴，∴.
∵，∴平面，∴.
又在菱形中，，
∴.
（Ⅱ）设与交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，.，.
由（Ⅰ）知，∵平面平面，∴平面.
则，，，，，，
.
设平面的法向量为，
∵，∴，取，得.
设平面的法向量为，
∵，∴，取，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
20.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、圆锥曲线与直线相交的问题.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则.
又因为，所以.
解得，.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）将代入得，不妨取，，
由（Ⅰ）可知，从而直线的方程为.
联立方程组消去得.
设，因为点异于点，由根与系数的关系得，
所以，.
所以，.
因为，所以，
解得.
21.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）.
令，则，
当时，在上，，在上，，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，在上，，在上，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）由，得，即.
设，则恒成立，即.
，因为，则在上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴.
存在，使得成立，则.
令，，
∴在上，，在上，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴.
∴的取值范围为.
22.【命题意图】本题考查参数方程与普通方程的互化及应用.
【解析】（Ⅰ）直线的普通方程为.
在曲线的参数方程中，，所以曲线的普通方程为.
（Ⅱ）设点.
点到直线的距离.
当时，，所以点到直线的距离的最小值为.
此时点的坐标为.
23.【命题意图】本题考查不等式的证明、均值不等式的应用.
【解析】（Ⅰ）∵，同理有，，
∴.
（Ⅱ）∵，∴.
同理有，.
∴
.BMI
18.5以下
18.5～23.9
24～29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标
600
660
720