浙江省杭州市拱墅区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷，共20页。

A．B．C．D．
2．（3分）若2a＝3b，则下列比列式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列图形中，是相似形的是（ ）
A．所有平行四边形B．所有矩形
C．所有菱形D．所有正方形
4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．70°C．72°D．144°
5．（3分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
若出售1500件衬衣，则其中的次品最接近（ ）件．
A．100B．150C．200D．240
6．（3分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．140°B．135°C．130°D．125°
7．（3分）已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x+2B．y＝﹣C．y＝x2+2D．y＝﹣x2﹣2
8．（3分）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二位同学在研究函数y＝a（x+3）（x﹣）（a为实数，且a≠0）时，甲发现当0＜a＜1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根．则（ ）
A．甲、乙的结论都错误
B．甲的结论正确，乙的结论错误
C．甲、乙的结论都正确
D．甲的结论错误，乙的结论正确
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
12．（4分）如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝ ，弧BC＝ ．
13．（4分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6，用配方法化为y＝a（x﹣m）2+k的形式为 ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．
14．（4分）在Rt△ABC中，AC：BC＝1：2，则sinB＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC＝2BC，则的值为 ．
16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为 ，AG的长为 ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点A的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽．
18．（8分）如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．
（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．
（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）
19．（8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．
（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．
（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，且a≠0）的图象过点（3，﹣1）．
（1）试判断点（2，2﹣2a）是否也在该函数的图象上，并说明理由．
（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．
（3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当x1≤x2≤时，始终都有y1＞y2，求a的取值范围．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若tan∠AFB＝2，求的值．
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：cs60°＝．故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝，故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．故选：D．
【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
4．【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．
5．【分析】求出总合格率，次品率，进而求出次品数量，对照做出选择．
【解答】解：1500×（1﹣）＝151.6件，故选：B．
【点评】考查频数分布表的意义，合格率的计算方法，从统计表中获取数据和数据之间的关系是解决问题的关键．
6．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余得到∠B的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到∠D的度数．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°．故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．【分析】由点A（﹣3，m），B（3，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．
【解答】解：∵A（﹣3，m），B（3，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x+2不关于y轴对称，y＝﹣的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
8．【分析】设CF＝x，则，求出CF，由EF∥DB可求出的值．
【解答】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9．【分析】由函数解析式确定函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，再由函数的对称性确定函数顶点的横坐标为，根据甲的说法求0＜a＜1时的范围，即可确定甲的说法错误；将方程a（x+3）（x﹣）+5＝0化为一元二次方程ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，求判别式△＝9（a﹣）2+＞0，即可确定方程的根的情况．
【解答】解：由函数y＝a（x+3）（x﹣）可知，函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，
∴函数顶点的横坐标为，
∵0＜a＜1，
∴＞﹣，
∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；
∵a（x+3）（x﹣）+5＝0可以化为ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，
△＝（3a﹣2）2+4a＝9a2﹣8a+4＝9（a﹣）2+＞0，
∴a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根，
故乙的结论正确；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．
10．【分析】求出几种特殊位置的CD的值判断即可．
【解答】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝3，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴x+x＝3，
∴x＝，
∴CD＝x＝，
观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
∴CD＝3﹣＝，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB，∴＝，
∴＝，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝，
∴CD＝＝，
观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤3时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．此时≤AD＜
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．【分析】根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
【解答】解：∵在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
12．【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB＝80°，再计算出∠BOC＝50°，从得到的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝130°﹣80°＝50°，
∴的度数为50°．
故答案为80°，50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．
【解答】解：y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x2﹣2x）+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴顶点（1，8）．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+8，（1，8）．
【点评】此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点的确定方法．
14．【分析】①当∠C＝90°时，根据勾股定理，可得AB，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案．
②当∠A＝90°时，由锐角三角函数的定义作答即可．
【解答】解：①当∠C＝90°时，设AC＝x，BC＝2x，由勾股定理，得
AB＝＝x．
由三角函数的正弦等于对边比斜边，得
sinB＝＝＝，
②当∠A＝90°时，sinB＝＝．
综上所述，sinB的值是或．
故答案是：或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．【分析】如图，设DE交CF于O．设OD＝a．了直角三角形求出DE，CF（用a表示）即可解决问题．
【解答】解：如图，设DE交CF于O．设OD＝a．
由翻折可知：DC＝DF，EC＝EF，
∴DE垂直平分线段CF，
∴∠DOC＝90°，OC＝OF，
∵∠CDE＝∠B，
∴tan∠CDO＝tan∠B，
∴＝＝2，
∴OC＝OF＝2a，CF＝4a，
∵∠ECO+∠DCO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠ECO＝∠CDO，
∴tan∠ECO＝2＝，
∴OE＝4a，DE＝5a，
∴＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16．【分析】连结DF，OC，先求出OC＝5，连结DO并延长交CF于点H，证明△DHF∽△CEO，可得＝，可求出FH和DH的长，求出CF和OH长，证明△GHO∽△CEO，可得，可求出OG长，则AG的长可求出．
【解答】解：连结BC，DF，OC，连结DO并延长交CF于点H，
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8，
∴CE＝＝4，
设OC＝x，则OE＝x﹣2，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴OC＝5，
∴OE＝5﹣2＝3，
∵，
∴DF＝CD，∠CFD＝∠COB，DH⊥CF，
∴∠FHD＝∠OEC＝90°，
∴△DHF∽△CEO，
∴＝，
∴，
∴FH＝，DH＝，
∴CF＝2FH＝，
OH＝DH﹣OD＝，
∵∠CFD＝∠COB＝∠BOD，∠BOD＝∠GOH，
∴∠GOH＝∠DFH，
∵∠GHO＝∠OEC＝90°，
∴△GHO∽△CEO，
∴，
∴，
∴OG＝，
∴AG＝OA﹣OG＝5﹣＝．故答案为：，．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．【分析】由题意得到∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，求得∠CAB＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到BC＝AB＝10，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意得，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝10，
∵CD⊥BD，∴CD＝BC＝5，答：河宽为5．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，此题是数学建模思想的典型范例，比较简单．
18．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小购选择从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）他选择从出口C离开的概率为；
（2）画树形图如图得：
由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果，
∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为．
19．【分析】C为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式，然后令y＝﹣3求得x的值即可解得答案．
【解答】解：以C为坐标原点建立坐标系，则A（﹣6，﹣4），B（6，﹣4）C（0，0）
设y＝ax2，
把B（6，﹣4）代入上式，
36a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2；
令y＝﹣3得：﹣x2＝﹣3，
解得：x＝±3，
∴若水面上升1m，水面宽度将减少12﹣6．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键．
20．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；
（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；
（3）设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，根据射影定理知：BD2＝BF•AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．
【解答】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝4．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．
解得x＝4．
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
【点评】考查了三角形综合题，综合应用了圆周角定理，圆心角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，射影定理等知识点，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
21．【分析】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．
（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵AD：AE＝6：5，
∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，
∵AE•AB＝AD•AC，
∴AC＝＝＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x，
∴＝，
∵△ABC的面积为50，
∴△BCD的面积＝×50＝14．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【分析】（1）将点（3，﹣1）代入解析式，求出a、b的关系，再将将点（2，2﹣2a）代入y＝ax2+bx﹣4判断即可；
（2）二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△＝（1﹣3a）2+16a＝0，求出a的值；
（3）抛物线对称轴x＝，当a＞0，≥时，a≥；当a＜0，≤时，a≥（舍去）．
【解答】解：（1）将点（3，﹣1）代入解析式，得3a+b＝1，
∴y＝ax2+（1﹣3a）x﹣4，
将点（2，2﹣2a）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a+2（1﹣3a）﹣4＝﹣2﹣2a≠2﹣2a，
∴点（2，2﹣2a）不在抛物线图象上；
（2）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（1﹣3a）2+16a＝0，
∴a＝﹣1或a＝﹣，
∴y＝﹣x2+4x﹣4或y＝﹣x2+x﹣4；
（3）抛物线对称轴x＝，
当a＞0，≥时，a≥；
当a＜0，≤时，a≥（舍去）；
∴当a≥满足所求；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解题的关键．
23．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，通过证明△ABF∽△EDF，可得，可求AF的长；
（2）由正方形的性质可得BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO＝AB，由锐角三角函数可求OF＝AO＝AB，即可求解；
（3）分别求出S1，S2，即可求解．
【解答】解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，
∴AF＝；
（2）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝DO＝BO＝AB，
∵tan∠AFB＝＝2，
∴OF＝AO＝AB，
∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，
∴；
（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，
∵＝x，
∴DE＝xa，
∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴＝x，
∴DF＝x•BF，
∴S△ABF＝a2，
∵GF＝2BG，
∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，
∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG＝S△CBG，
∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×
∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+
∴当x＝时，的最大值为．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
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日期：2021/1/2 14:09:49；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901