浙江省杭州市西湖区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷，共21页。
A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣4，1）D．（4，﹣1）
2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则（ ）
A．B．C．D．
3．，，，π四个实数，任取一个数是无理数的概率为（ ）
A．B．C．D．1
4．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
5．△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣5）（x+1）B．y＝（x﹣5）（x+3）
C．y＝（x﹣5）（x﹣3）D．y＝（x+7）（x﹣1）
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
8．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（ ）
A．1≤y≤4B．y≤5C．4≤y≤5D．1≤y≤5
9．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
10．已知二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点，则（ ）
A．2m+n＞B．2m+n＜C．2m﹣n＜D．2m﹣n＞
二．填空题（共6小题）
11．从0，1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积为0的概率是 ．
12．已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝ ．
13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB＝6，则EF＝ ．
14．当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝ ．
15．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC＝60°，AB＝a，CF＝EF，则△ABC的面积为 （用含a的代数式表示）．
16．二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ．
三．解答题（共7小题）
17．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（2，m）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求m的值．
18．如图，在△ABC中，AC＝4，CD＝2，BC＝8，点D在BC边上．
（1）判断△ABC与△DAC是否相似？请说明理由．
（2）当AD＝3时，求AB的长．
19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）若以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，请用列表或树状图法求三条线段能构成三角形的概率．
20．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．
21．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．
22．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（﹣6，0），（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若反比例函数图象与二次函数的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为B，点B的横坐标为m，且满足3＜m＜4，求实数k的取值范围．
23．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC＝AE，AD与BE交于点P，连接PC．
（1）证明：△ABE≌△CAD；
（2）若CE＝CP，求证：∠CPD＝∠PBD；
（3）在（2）的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣4，1）D．（4，﹣1）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（1，4）．
故选：A．
2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例中项的定义，内项之积等于外项之积即可判断．
【解答】解：∵线段a是线段b，c的比例中项，
∴a2＝bc，
由A得，b2＝ac，故错误；
由B得，a2＝bc，故正确；
由C得，c2＝ab，故错误；
由D得，ba2＝ac，故错误；
故选：B．
3．，，，π四个实数，任取一个数是无理数的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据题目中的数字，可以判断其中有几个无理数，从而可以求得任取一个数是无理数的概率．
【解答】解：在，，，π四个实数中，无理数是，π，
故任取一个数是无理数的概率为，
故选：B．
4．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，取格点E，连接CE．构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．
【解答】解：如图，取格点E，连接CE．
由题意：∠BEC＝90°，BE＝EC＝，BC＝2，
∴csB＝＝，
故选：C．
5．△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AE＝2AM＝．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣5）（x+1）B．y＝（x﹣5）（x+3）
C．y＝（x﹣5）（x﹣3）D．y＝（x+7）（x﹣1）
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
将其向右平移2个单位后的顶点坐标是（1，﹣16）．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣1）2﹣16＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】连接BC，作OE⊥AC于E．根据勾股定理求出BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
8．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（ ）
A．1≤y≤4B．y≤5C．4≤y≤5D．1≤y≤5
【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可确定y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为5，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1﹣1）2+5＝1，
综上所述，二次函数y＝﹣x2+2x+4，求当﹣1≤x≤2时，1≤y≤5，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【分析】由三角形的重心定理得出BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；证明△BDF∽△EGF，得出＝＝2，得出BD＝2GE，①正确；求出△BDF的面积＝△ABC的面积，△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，得出△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；由三角形的中线得出△ABD的面积＝△BCE的面积，得出△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；即可得出答案．
【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F，
∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；
∵EG∥BC，
∴△BDF∽△EGF，
∴＝＝2，
∴BD＝2GE，①正确；
∵AF＝2FD，
∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，
∵EG∥BC，AE＝CE，
∴△AGE∽△ADC，＝，
∴＝（）2＝，
∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，
∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；
∵BD＝CD，AE＝CE，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，
∴△ABD的面积＝△BCE的面积，
∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积
﹣△BDF的面积，
即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；
故选：D．
10．已知二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点，则（ ）
A．2m+n＞B．2m+n＜C．2m﹣n＜D．2m﹣n＞
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点，
∴△＜0，即（3m）2﹣4×（﹣1）×（﹣3n）＜0，
9m2﹣12n＜0，
3m2＜4n，
∵抛物线开口向下，与x轴没有交点，
∴﹣3n≤0，
∴n≥0，
当x＝2时，y＜0，
即﹣4+6m﹣3n＜0
解得2m﹣n＜
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．从0，1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积为0的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果与积为0的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能结果，其中积为0的有8种结果，
则其乘积为0的概率是＝；
故答案为：．
12．已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝ ﹣1 ．
【分析】根据黄金分割点的定义求解．
【解答】解：∵E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，
∴，
BE＝＝＝﹣1，
故答案为﹣1．
13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB＝6，则EF＝ 3 ．
【分析】由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，DG＝AB＝3，由此可得结果．
【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，AB＝6，
由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，DG＝AB＝3，
∴DE•（3+FG）＝9，FG•（3+DE）＝9，
∴DE＝FG＝，
∴EF＝3，
故答案为：3．
14．当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝ 或﹣1 ．
【分析】求得对称轴，根据x的取值，分a＞0和a＜0两种情况讨论求得即可．
【解答】解：∵函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当a＞0时，则x＝﹣3时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，
∴把x＝﹣3代入得，9a+12a+2＝8，
解得a＝；
∴当a＜0时，则x＝2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，
∴把x＝2代入得，4a﹣8a+2＝8，
解得a＝﹣1，
故答案为或﹣1．
15．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC＝60°，AB＝a，CF＝EF，则△ABC的面积为 （用含a的代数式表示）．
【分析】设BE＝2x，根据30度的直角三角形的性质表示BC＝4x，CE＝2x，得EF＝x，证明，即，得AE＝3x，最后根据三角形面积可得结论．
【解答】解：设BE＝2x，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴BC＝4x，CE＝2x，
∵EF＝CF，
∴EF＝x，
∵BD是△ABC的高，
∴∠CDF＝∠BEF＝90°，
∵∠DFC＝∠BFE，
∴∠ACE＝∠EBF，
∵∠AEC＝∠BEF，
∴△ACE∽△FBE，
∴，即，
∴AE＝3x，
∵AB＝a＝2x+3x，
∴x＝a，
∴S△ABC＝＝＝，
故答案为：．
16．二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ①④ ．
【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+，△＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，
当x＝6时，y＝0，
∴该函数图象过（6，0）；故①正确；
∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+＞0，该函数图象顶点不在第三象限，故②错误；
当x＞3+时，y随x的增大而增大，故③错误；
C、当x＜n时，y随x的增大而减小，即x≤3+，此选项正确；
故答案为：①④．
三．解答题（共7小题）
17．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（2，m）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求m的值．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的对称轴；
（2）根据二次函数的图象具有对称性，可知点A（0，4），B（2，m）关于直线x＝1对称，从而可以得到m的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h
∴该函数的对称轴是直线x＝1；
（2）由（1）知，该函数的对称轴是直线x＝1，
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（2，m），
∴m＝4，
即m的值是4．
18．如图，在△ABC中，AC＝4，CD＝2，BC＝8，点D在BC边上．
（1）判断△ABC与△DAC是否相似？请说明理由．
（2）当AD＝3时，求AB的长．
【分析】（1）求出＝，再根据相似三角形的判定定理推出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：（1）△ABC与△DAC相似，
理由是：∵CD＝2，BC＝8，AC＝4，
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△CAD；
（2）∵△ABC∽△CAD，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，AD＝3，
∴＝，
解得：AB＝6．
19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）若以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，请用列表或树状图法求三条线段能构成三角形的概率．
【分析】（1）分别求出取出三个口袋中奇数的概率，相乘即可得到结果；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出三条线段能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：P＝××＝；
（2）画树状图如下：
，
所有等可能的情况有12种，其中三条线段能构成三角形的情况有：2，4，3；2，5，3；7，4，8；7，4，9；7，5，3；7，5，8；7，5，9，共6种，
则P（三条线段能构成三角形）＝＝．
20．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．
【分析】（1）由特殊锐角的三角函数值即可得出答案；
（2）作AD⊥BC于D，求出∠BAD＝90°﹣60°＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝AB＝3，得出AD＝BD＝3，由三角形面积公式即可得出答案；
（3）求出CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）作AD⊥BC于D，如图所示：
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×4×3＝6；
（3）∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．
21．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理得到＝，得到∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理解答；
（2）根据垂径定理求出BE，根据正弦的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）连接OB，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△BOE中，∠AOB＝60°，
∴OB＝＝，
∴劣弧BC的长＝＝π（cm）．
22．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（﹣6，0），（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若反比例函数图象与二次函数的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为B，点B的横坐标为m，且满足3＜m＜4，求实数k的取值范围．
【分析】（1）已知了抛物线与x轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式．然后将另一点的坐标代入即可求出函数的解析式．
（2）可根据（1）的抛物线的解析式和反比例函数的解析式来联立方程组，求出的方程组的解就是两函数的交点坐标，然后找出第一象限内交点的坐标，即可得出符合条件的x0的值，进而可写出所求的两个正整数．
（3）点B的横坐标m满足3＜m＜4，可通过x＝3，x＝4两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+6），
将（0，﹣3）代入，解得a＝．
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3．
（2）画出二次函数y＝x2+x﹣3的图象以及反比例函数在第一象限内的图象，
由图象可知，交点的横坐标x0落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2．
（3）由函数图象或函数性质可知：当3＜x＜4时，
对y1＝x2+x﹣3，y1随着x增大而增大，
对y2＝（k＞0），y2随着x的增大而减小．
因为B为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当m＝3时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×32+×3﹣3，
解得k＞27．
同理，当m＝4时，由二次函数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×42+﹣3＞，
解k＜60，
所以k的取值范围为27＜k＜60．
23．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC＝AE，AD与BE交于点P，连接PC．
（1）证明：△ABE≌△CAD；
（2）若CE＝CP，求证：∠CPD＝∠PBD；
（3）在（2）的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得∠BPD＝60°，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠EBC＝∠DPC，可得结论；
（3）由题意可证BD＝CE＝CP，通过证明△PCD∽△DCP，可得，可得PC2＝BC•CD，即BD2＝BC•CD，可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，且CD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠DAC，
∵∠DAC+∠DAB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE+∠DAB＝∠BPD＝60°，
∵CE＝CP，
∴∠CPE＝∠CEP，
∴∠AEB＝∠BPC，
∵∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝60°+∠EBC，∠BPC＝∠BPD+∠DPC＝60°+∠DPC，
∴∠EBC＝∠DPC，即∠CPD＝∠PBD；
（3）∵AC＝BC，AE＝CD，
∴BD＝CE，且CE＝CP，
∴BD＝CP，
∵∠CPD＝∠PBD，且∠PCD＝∠PCB，
∴△PCD∽△DCP，
∴，
∴PC2＝BC•CD，
∴BD2＝BC•CD，
∴点D是BC的黄金分割点．