北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步6 简单几何体的再认识6.3 球的表面积和体积教学课件ppt

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6.6.3 球的表面积和体积课标阐释 1.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.(数学运算)2.会求解组合体的体积与表面积.(几何直观、数学运算)思维脉络 激趣诱思知识点拨牟合方盖是一种几何体,是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分,因为像是两个方形的盖子合在一起,所以被称作“牟合方盖”.它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式,他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误,虽然最终并没有实现,但是这个发现有着重要的意义.二百多年后,中国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法,利用了“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出,充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧.刘徽是1 700多年前的人,祖氏父子是1 500多年前的人,以千年前的社会知识水平,思考这种问题,简直令人叹为观止,这种智慧的光芒,震古烁今.他们对数学问题的执着思考与纯粹探索的精神,是值得现代人学习的.以下图示就是推导球体积的模型,它借助了什么数学原理?激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨一、球的基本性质1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.2.球的切线(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这交点称为直线与球的切点.(2)过球外一点的所有切线的切线长都相等,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.激趣诱思知识点拨名师点析1.球的任意一个截面都是圆.2.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即3.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心.微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.(　　)(2)球面上的任意三点确定一个平面.(　　)答案(1)×　(2)√激趣诱思知识点拨微练习已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为　　　　　. 解析因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以r=5.轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12.答案12激趣诱思知识点拨二、球的表面积与体积公式名师点析1.球不存在底面,球的表面不能展开成平面.2.在求解球的半径时,通常利用球半径、截面圆半径及球心到截面圆的距离来构建直角三角形,将空间问题转化为平面问题.激趣诱思知识点拨探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测反思感悟 1.求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.2.半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.3.对于有关球的切接问题,先要认真分析条件,明确切点或接点的位置;然后正确抽象出其截面图,再分析相关元素间的数量关系进行求解.探究一探究二当堂检测变式训练1(1)若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)(2)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为　　　　　. 探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测球的截面例2在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.反思感悟 1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.探究一探究二当堂检测变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测答案B 探究一探究二当堂检测2.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4解析设两球半径分别为R1,R2,且R1>R2,所以R1-R2=2.答案B探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的　　　　　倍,表面积变为原来的　　　　　倍. 答案8　4