向量的数乘运算PPT课件免费下载

北师大版 (2019)高中数学必修 第二册课文《向量的数乘运算》,完整版PPT课件免费下载，优秀PPT背景图搭配，精美的免费ppt模板。轻松备课，欢迎免费下载使用。

2.3.1 向量的数乘运算 2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系课标阐释

一、【学习目标】

 1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)3.掌握共线向量的基本定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)4.了解直线的方向向量的概念,会运用直线的方向向量的知识证明三点共线.(数学抽象、逻辑推理)

二、【课程的主要内容】

思维脉络 激趣诱思知识点拨夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880 000v2.对于880 000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880 000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?激趣诱思知识点拨一、向量的数乘运算1.向量的数乘的概念实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,0a=0.(2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.激趣诱思知识点拨2.向量的数乘的几何意义如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.3.单位向量激趣诱思知识点拨微思考数乘向量与数乘数有什么区别?提示前者结果是一个向量,后者结果是一个数.

三、【例题剖析】

微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.( )(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.( )(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.( )答案(1)× (2)√ (3)√激趣诱思知识点拨二、数乘运算的运算律1.数乘运算的运算律设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.激趣诱思知识点拨名师点析1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.激趣诱思知识点拨答案B 激趣诱思知识点拨答案C 激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨微探究根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb?微思考共线向量定理中为什么要规定b≠0?提示(1)若将条件b≠0去掉,即当b=0时,显然a与b共线;(2)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;(3)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.激趣诱思知识点拨四、直线的向量表示探究一探究二探究三探究四当堂检测数乘向量的定义及几何意义例1(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是( )答案(1)C (2)B 探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟 对向量数乘运算的三点说明(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.

四、【拓展学习】

探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测向量的线性运算例2(1)计算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)设x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟 1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= . 探究一探究二探究三探究四当堂检测共线向量定理及其应用角度1 向量共线的判定例3判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.探究一探究二探究三探究四当堂检测解(1)因为b=-2a,所以a与b共线.(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1与e2是两个非零不共线向量,所以1-3λ=0,1+3λ=0.这样的λ不存在,因此a与b不共线.反思感悟 向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3已知向量e1、e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.证明若e1=e2=0,则a=b=0,所以a与b共线,即a∥b;若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b.

二、【思考与探究】

探究一探究二探究三探究四当堂检测角度2 用已知向量表示未知向量 答案C 探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟 用已知向量来表示所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理、相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测角度3 证明三点共线问题 探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测角度4 求参问题 答案A 探究一探究二探究三探究四当堂检测答案C 探究一探究二探究三探究四当堂检测向量线性运算的综合应用探究一探究二探究三探究四当堂检测答案D 探究一探究二探究三探究四当堂检测答案C 探究一探究二探究三探究四当堂检测角度2 解决三角形的四心问题 探究一探究二探究三探究四当堂检测答案B 探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟 1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心、三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,探究一探究二探究三探究四当堂检测答案B 探究一探究二探究三探究四当堂检测1.4(a-b)-3(a+b)-b=( )A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案DA.a+b B.a-bC.3b-2a D.2a-3b答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线答案B 探究一探究二探究三探究四当堂检测