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2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
7．（2分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形（无公共边），则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．无法确定
9．（2分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
10．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△PFA≌△PEB；
②∠PFE＝45°；
③EF＝AP；
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．
12．（2分）若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为 ．
13．（2分）如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 ．
14．（2分）如图，如图△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝ cm，∠C＝ °．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
16．（2分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ cm．
17．（2分）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为 ．
三、解答题（共64分）
19．（7分）画出△ABC关于直线L的对称图形△A′B′C′．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
22．（8分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
23．（8分）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
24．（8分）已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC．
25．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由题意得
（n﹣2）×180°＝144°n．
解得n＝10，
故选：C．
3．（2分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断；根据全等三角形的判定方法对④进行判断．
【解答】解：全等三角形的周长相等，所以①正确；全等三角形的对应角相等，所以②正确；全等三角形的面积相等，所以③正确； 面积相等的两个三角形不一定全等，所以④错误．
故选：B．
4．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，
＝70°﹣35°，
＝35°．
故选：B．
6．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
【解答】解：
A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
7．（2分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形（无公共边），则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．
【解答】解：设另外两边分别为y，z．
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等
∴x+y+z＝，
∵y+z＞x
∴x＜，
又∵x为最长边大于等于
∴x≥
综上可得≤x＜．
故选：A．
8．（2分）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．无法确定
【分析】如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交于BC，AB于点D，E，则△ABC分成两个三角形：△BPC和△BPA，根据两三角形面积之和等于等边三角形的面积可推得：d＝h．
【解答】解：如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E，
∴S△ABC＝S△BPC+S△BPA＝BC•PD+AB•PE＝BC•PD+BC•PE＝BC（PD+PE）＝d•BC＝h•BC
∴d＝h．
故选：C．
9．（2分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1＝h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比＝AB：AC＝8：6＝4：3，
故选：B．
10．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△PFA≌△PEB；
②∠PFE＝45°；
③EF＝AP；
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由等腰直角三角形的性质，及角相互间的和差关系易得△PFA≌△PEB，依此得出∠PFE＝45°，阴影部分的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点；
∴∠APB＝90°，AP＝CP＝BP，∠B＝∠C＝∠CAP＝45°；
∵∠FPE＝90°；
∴∠FPA＝∠BPE；
∴△PFA≌△PEB；
∴PE＝PF；
∴∠PFE＝45°．
阴影部分的面积＝△APC的面积＝△ABC的面积的一半．
故选：C．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A＝ 55° ，∠B＝ 25° ，∠C＝ 100° ．
【分析】设∠B＝x，则∠C＝4x，因为∠A﹣∠B＝30°，故∠A＝30°+x，再根据∠A+∠B+∠C＝180°即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：设∠B＝x，则∠C＝4x，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝30°+x①，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+x+4x＝180°②，
把①代入②得，30°+x+x+4x＝180°，解得x＝25°，
∴∠A＝30°+25°＝55°，∠B＝25°，∠C＝4x＝4×25°＝100°．
故答案为：55°；25°；100°．
12．（2分）若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为 （﹣9，﹣3） ．
【分析】解决此题，先要根据关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1）得到P点的一个坐标，根据关于y轴对称的点P2（4﹣b，b+2）得到P点的另一个坐标，由此得到一个方程组，求出a、b的值，即可得到P点的坐标．
【解答】解：∵若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），
∴P点的坐标为（2a+b，a﹣1），
∵关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），
∴P点的坐标为（b﹣4，b+2），
则，
解得．
代入P点的坐标，可得P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
13．（2分）如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 7m ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出DA＝DB，再通过等量代换可求出BD+CD的长，根据△BDC的周长即可解答．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB．
又∵△BDC的周长为17m，AB＝AC＝10m，
∴BD+DC+BC＝17，
∴DA+DC+BC＝17，即AC+BC＝17
∴10+BC＝17，
∴BC＝7m．
故答案为：7m．
14．（2分）如图，如图△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝ 2 cm，∠C＝ 48 °．
【分析】根据全等三角形的性质得出DE＝AE，∠C＝∠B，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABE≌△DCE，AE＝2cm，∠B＝48°，
∴DE＝AE＝2cm，∠C＝∠B＝48°，
故答案为：2，48．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 AB＝CD（答案不唯一） （填出一个即可）．
【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AB＝CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
16．（2分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ 8 cm．
【分析】根据角平分线性质求出CD＝DE，根据全等求出BC＝BE＝AC，根据△ADE的周长求出AD+DE+AE＝AB，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEB＝90°，∠CBD＝∠EBD，
在△DCB和△DEB中
∴△DCB≌△DEB（AAS），
∴BE＝BC＝AC，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝8cm，
故答案为：8．
17．（2分）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ 30° ．
【分析】连接CD，证明△BCD≌△BED和△ACD≌△DCB，然后由∠ACB＝60°，可得∠BED＝∠DCB＝30°．
【解答】解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CBA＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
又∵∠CBD＝∠DBE，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠BED＝∠DCB，
∵BD＝AD，BC＝AC，DC＝DC，
∴△ACD≌△DCB（SSS），
∴∠ACD＝∠DCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BED＝∠DCB＝30°．
故答案为：30°．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为 4 ．
【分析】如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，利用直角三角形性质可求得CF′＝4，由于CE+EF＝CE+EF′，故当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，CE+EF取得最小值为4．
【解答】解：如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，
则∠BF′C＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
∴CF′＝BC＝×8＝4，
∵AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，
∴F与F′关于AD对称，
∴CE+EF＝CE+EF′，当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，
CE+EF取得最小值4；
故答案为：4．
三、解答题（共64分）
19．（7分）画出△ABC关于直线L的对称图形△A′B′C′．
【分析】分别作出点A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′，再连接各点得出即可．
【解答】解：如图所示，
△A′B′C′即为所求三角形．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．
【分析】根据三角形面积计算公式即可解题．
【解答】解：∵S△ABC＝AC•BE，S△ABC＝BC•AD，
∴AC•BE＝BC•AD，
∴BE＝＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝33°，
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．
22．（8分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
【分析】由条件证得△ABC≌CDE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
23．（8分）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
24．（8分）已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC．
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
【解答】证明：连接DC，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD＝BC．
25．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；
（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD＝FB，进而得出AE＝AF，就可以得出BE＝BF，从而结论AD＝BE．
【解答】解：（1）由题意，得作图如下：
（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，
在△ACD和△FCB中
，
∴△ACD≌△FCB（SAS）
∴AD＝FB．
∵CF＝AC，
∴AF＝2AC．
∵AE＝2CA，
∴AF＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴AB⊥EF，
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE＝BF，
∴AD＝BE．
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，证得AC＝AG，根据（1）的结论于是得到结果．
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
故答案为：垂直、相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵．
∴△BAD≌△CAF，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
在△GAD与△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
7．（2分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形（无公共边），则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．无法确定
9．（2分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
10．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△PFA≌△PEB；
②∠PFE＝45°；
③EF＝AP；
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．
12．（2分）若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为 ．
13．（2分）如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 ．
14．（2分）如图，如图△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝ cm，∠C＝ °．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
16．（2分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ cm．
17．（2分）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为 ．
三、解答题（共64分）
19．（7分）画出△ABC关于直线L的对称图形△A′B′C′．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
22．（8分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
23．（8分）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
24．（8分）已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC．
25．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
2021-2022学年广东省汕头市潮阳区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由题意得
（n﹣2）×180°＝144°n．
解得n＝10，
故选：C．
3．（2分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断；根据全等三角形的判定方法对④进行判断．
【解答】解：全等三角形的周长相等，所以①正确；全等三角形的对应角相等，所以②正确；全等三角形的面积相等，所以③正确； 面积相等的两个三角形不一定全等，所以④错误．
故选：B．
4．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，
＝70°﹣35°，
＝35°．
故选：B．
6．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
【解答】解：
A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
7．（2分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形（无公共边），则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．
【解答】解：设另外两边分别为y，z．
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等
∴x+y+z＝，
∵y+z＞x
∴x＜，
又∵x为最长边大于等于
∴x≥
综上可得≤x＜．
故选：A．
8．（2分）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．d＞h B．d＜h C．d＝h D．无法确定
【分析】如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交于BC，AB于点D，E，则△ABC分成两个三角形：△BPC和△BPA，根据两三角形面积之和等于等边三角形的面积可推得：d＝h．
【解答】解：如图，连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E，
∴S△ABC＝S△BPC+S△BPA＝BC•PD+AB•PE＝BC•PD+BC•PE＝BC（PD+PE）＝d•BC＝h•BC
∴d＝h．
故选：C．
9．（2分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1＝h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比＝AB：AC＝8：6＝4：3，
故选：B．
10．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△PFA≌△PEB；
②∠PFE＝45°；
③EF＝AP；
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由等腰直角三角形的性质，及角相互间的和差关系易得△PFA≌△PEB，依此得出∠PFE＝45°，阴影部分的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点；
∴∠APB＝90°，AP＝CP＝BP，∠B＝∠C＝∠CAP＝45°；
∵∠FPE＝90°；
∴∠FPA＝∠BPE；
∴△PFA≌△PEB；
∴PE＝PF；
∴∠PFE＝45°．
阴影部分的面积＝△APC的面积＝△ABC的面积的一半．
故选：C．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A＝ 55° ，∠B＝ 25° ，∠C＝ 100° ．
【分析】设∠B＝x，则∠C＝4x，因为∠A﹣∠B＝30°，故∠A＝30°+x，再根据∠A+∠B+∠C＝180°即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：设∠B＝x，则∠C＝4x，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝30°+x①，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+x+4x＝180°②，
把①代入②得，30°+x+x+4x＝180°，解得x＝25°，
∴∠A＝30°+25°＝55°，∠B＝25°，∠C＝4x＝4×25°＝100°．
故答案为：55°；25°；100°．
12．（2分）若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为 （﹣9，﹣3） ．
【分析】解决此题，先要根据关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1）得到P点的一个坐标，根据关于y轴对称的点P2（4﹣b，b+2）得到P点的另一个坐标，由此得到一个方程组，求出a、b的值，即可得到P点的坐标．
【解答】解：∵若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），
∴P点的坐标为（2a+b，a﹣1），
∵关于y轴对称的点为P2（4﹣b，b+2），
∴P点的坐标为（b﹣4，b+2），
则，
解得．
代入P点的坐标，可得P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
13．（2分）如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长是 7m ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出DA＝DB，再通过等量代换可求出BD+CD的长，根据△BDC的周长即可解答．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB．
又∵△BDC的周长为17m，AB＝AC＝10m，
∴BD+DC+BC＝17，
∴DA+DC+BC＝17，即AC+BC＝17
∴10+BC＝17，
∴BC＝7m．
故答案为：7m．
14．（2分）如图，如图△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝ 2 cm，∠C＝ 48 °．
【分析】根据全等三角形的性质得出DE＝AE，∠C＝∠B，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABE≌△DCE，AE＝2cm，∠B＝48°，
∴DE＝AE＝2cm，∠C＝∠B＝48°，
故答案为：2，48．
15．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 AB＝CD（答案不唯一） （填出一个即可）．
【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AB＝CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
16．（2分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ 8 cm．
【分析】根据角平分线性质求出CD＝DE，根据全等求出BC＝BE＝AC，根据△ADE的周长求出AD+DE+AE＝AB，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEB＝90°，∠CBD＝∠EBD，
在△DCB和△DEB中
∴△DCB≌△DEB（AAS），
∴BE＝BC＝AC，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝8cm，
故答案为：8．
17．（2分）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝ 30° ．
【分析】连接CD，证明△BCD≌△BED和△ACD≌△DCB，然后由∠ACB＝60°，可得∠BED＝∠DCB＝30°．
【解答】解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CBA＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
又∵∠CBD＝∠DBE，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠BED＝∠DCB，
∵BD＝AD，BC＝AC，DC＝DC，
∴△ACD≌△DCB（SSS），
∴∠ACD＝∠DCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BED＝∠DCB＝30°．
故答案为：30°．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为 4 ．
【分析】如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，利用直角三角形性质可求得CF′＝4，由于CE+EF＝CE+EF′，故当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，CE+EF取得最小值为4．
【解答】解：如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，
则∠BF′C＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
∴CF′＝BC＝×8＝4，
∵AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，
∴F与F′关于AD对称，
∴CE+EF＝CE+EF′，当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，
CE+EF取得最小值4；
故答案为：4．
三、解答题（共64分）
19．（7分）画出△ABC关于直线L的对称图形△A′B′C′．
【分析】分别作出点A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′，再连接各点得出即可．
【解答】解：如图所示，
△A′B′C′即为所求三角形．
20．（7分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．
【分析】根据三角形面积计算公式即可解题．
【解答】解：∵S△ABC＝AC•BE，S△ABC＝BC•AD，
∴AC•BE＝BC•AD，
∴BE＝＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝33°，
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．
22．（8分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
【分析】由条件证得△ABC≌CDE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
23．（8分）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
24．（8分）已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC．
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
【解答】证明：连接DC，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD＝BC．
25．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；
（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD＝FB，进而得出AE＝AF，就可以得出BE＝BF，从而结论AD＝BE．
【解答】解：（1）由题意，得作图如下：
（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，
在△ACD和△FCB中
，
∴△ACD≌△FCB（SAS）
∴AD＝FB．
∵CF＝AC，
∴AF＝2AC．
∵AE＝2CA，
∴AF＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴AB⊥EF，
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE＝BF，
∴AD＝BE．
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，证得AC＝AG，根据（1）的结论于是得到结果．
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
故答案为：垂直、相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵．
∴△BAD≌△CAF，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
在△GAD与△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
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