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2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，6cm B．5cm，15cm，2cm，6cm
C．4cm，8cm，3cm，5cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝4
3．（2分）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
5．（2分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
8．（2分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．4 D．5
9．（2分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
10．（2分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝x的根 ．
12．（3分）为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 ．
13．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 ．
14．（3分）如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为
15．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ．
16．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．A（0，3），B（2，4），C（3，2），D（1，1）．将正方形ABCD绕D点旋转90°后，点B到达的位置坐标为 ．
三、解答题（17题每题4分，18题6分，19题8分，共22分）
17．（8分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
18．（6分）先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．
19．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
四、（20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．
21．（8分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．
（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；
（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．
七、（本题12分）
24．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，6cm B．5cm，15cm，2cm，6cm
C．4cm，8cm，3cm，5cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、∵3×6≠4×5，∴四条线段不成比例；
B、∵15×2＝5×6，∴四条线段成比例；
C、∵3×8≠4×5，∴四条线段不成比例；
D、∵1×8≠4×3，∴四条线段不成比例；
故选：B．
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝4
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4．
故选：C．
3．（2分）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
【解答】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，
抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，
故选：D．
4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1＝2，
解得：x1＝3．
故选：C．
5．（2分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
6．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14（cm），由此即可判定A不正确．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10cm，所以对角线＝10≈14（cm），
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选：A．
7．（2分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【分析】根据已知条件可得∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
故选：B．
8．（2分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．
【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故选：B．
9．（2分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
【解答】解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
10．（2分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案是：x1＝0，x2＝1．
12．（3分）为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 10% ．
【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这两年的绿地面积的平均增长率是x，
依题意得：（1+x）2＝1+21%，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
13．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 13 ．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
14．（3分）如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为
【分析】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数36个的，
故其概率是．
故答案为：．
15．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 4.8 ．
【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故答案为：4.8．
16．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．A（0，3），B（2，4），C（3，2），D（1，1）．将正方形ABCD绕D点旋转90°后，点B到达的位置坐标为 （4，0）或（﹣2，2） ．
【分析】利用网格结构找出点B绕点D旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【解答】解：如图，点B绕点D旋转90°到达点B′或B″，
点B′的坐标为（4，0），B″（﹣2，2）．
故答案为：（4，0）或（﹣2，2）．
三、解答题（17题每题4分，18题6分，19题8分，共22分）
17．（8分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵3（x﹣3）＝5x（x﹣3），
∴3（x﹣3）﹣5x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（3﹣5x）＝0，
∴x﹣3＝0或3﹣5x＝0，
解得x1＝3，x2＝；
（2）整理成一般式，得：x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2．
18．（6分）先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m的值，把m的值代入计算，得到答案．
【解答】解：÷（m+3+）
＝÷
＝•
＝．
解方程x2﹣2x﹣1＝0得，x1＝+1，x2＝﹣+1，
所以m（m﹣2）＝（+1）（+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．
或m（m﹣2）＝（﹣+1）（﹣+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．
所以原式＝．
19．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
四、（20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6．∠B＝∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝10，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝2，
设点A到DE的距离为h，
则×AD•CD＝DE•h，
∴h＝＝3．
答：点A到DE的距离为3．
21．（8分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝2，和m＝n＝3两种情况），m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率大．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．
（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；
（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．
【分析】（1）由菱形的性质：DC∥AE，BC∥AD，进而证明：△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，△DFC∽△BCE；
（2）由（1）可知：△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF的长，进而求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AE，BC∥AD，
∴△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，
∴△DFC∽△BCE
故：△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，△DFC∽△BCE；
（2）∵△DFC∽△AFE；
∴，
∵BE＝2AB，AB＝3，
∴BE＝6，AE＝9，
∴，
∴DF＝，
∴AF＝AD+DF＝3+＝．
七、（本题12分）
24．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 (100+200x) 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝(100+200x)（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
【分析】（1）连接PC，由正方形的性质得到AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA＝PC，∠PCB＝∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC＝∠PCF，于是得到PF＝PC，故此可证明PF＝PA．
（2）连接AC交BD于点O，依据正方形的性质可知△AOB为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明△APO≌△PFQ，依据全等三角形的性质可得到PQ＝AO；
（3）过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，首先证明△PBN为等腰直角三角形于是得到PN+BN＝PB，由角平分线的性质可得到PM＝PN，然后再依据LH证明△PAM≌△PFN可得到FN＝AM，PM＝PN，于是将AB+BF＝可转化为BN+PN的长．
【解答】解：（1）证明：连接PC．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP．
在△APB和△CPB中，
，
∴△APB≌△CPB．
∴PA＝PC，∠PCB＝∠PAB．
∵∠ABF＝∠APF＝90°，
∴∠PAB+∠PFB＝180°．
∵∠PFC+∠PFB＝180°，
∴∠PFC＝∠PAB．
∴∠PFC＝∠PCF．
∴PF＝PC．
∴PF＝PA．
（2）PQ的长不变．
理由：连接AC交BD于点O，如图2．
∵PF⊥AE，
∴∠APO+∠FPQ＝90°．
∵FQ⊥BD，
∴∠PFQ+∠FPQ＝90°．
∴∠APO＝∠PFQ．
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOP＝∠PQF＝90°，AO＝a．
在△APO和△PFQ中，
，
∴△APO≌△PFQ．
∴PQ＝AO＝a．
（3）如图3所示：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PBN＝45°．
∵PN⊥BN，
∴BN＝PN＝BP．
∴BN+PN＝PB．
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM＝PN．
在△PAM和△PFN中，
，
∴△PAM≌△PFN．
∴AM＝FN．
∵∠MBN＝∠BNP＝∠BMP＝90°，
∴MB＝PN．
∴AB+BF＝AM+MB+BF＝FN+BF+PN＝BN+PN＝PB．
2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，6cm B．5cm，15cm，2cm，6cm
C．4cm，8cm，3cm，5cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝4
3．（2分）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
5．（2分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
8．（2分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．4 D．5
9．（2分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
10．（2分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝x的根 ．
12．（3分）为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 ．
13．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 ．
14．（3分）如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为
15．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ．
16．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．A（0，3），B（2，4），C（3，2），D（1，1）．将正方形ABCD绕D点旋转90°后，点B到达的位置坐标为 ．
三、解答题（17题每题4分，18题6分，19题8分，共22分）
17．（8分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
18．（6分）先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．
19．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
四、（20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．
21．（8分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．
（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；
（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．
七、（本题12分）
24．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，6cm B．5cm，15cm，2cm，6cm
C．4cm，8cm，3cm，5cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、∵3×6≠4×5，∴四条线段不成比例；
B、∵15×2＝5×6，∴四条线段成比例；
C、∵3×8≠4×5，∴四条线段不成比例；
D、∵1×8≠4×3，∴四条线段不成比例；
故选：B．
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝4
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4．
故选：C．
3．（2分）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
【解答】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，
抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，
故选：D．
4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1＝2，
解得：x1＝3．
故选：C．
5．（2分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
6．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14（cm），由此即可判定A不正确．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10cm，所以对角线＝10≈14（cm），
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选：A．
7．（2分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【分析】根据已知条件可得∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
故选：B．
8．（2分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．
【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故选：B．
9．（2分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
【解答】解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
10．（2分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案是：x1＝0，x2＝1．
12．（3分）为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 10% ．
【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这两年的绿地面积的平均增长率是x，
依题意得：（1+x）2＝1+21%，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
13．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 13 ．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
14．（3分）如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为
【分析】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数36个的，
故其概率是．
故答案为：．
15．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 4.8 ．
【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故答案为：4.8．
16．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．A（0，3），B（2，4），C（3，2），D（1，1）．将正方形ABCD绕D点旋转90°后，点B到达的位置坐标为 （4，0）或（﹣2，2） ．
【分析】利用网格结构找出点B绕点D旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【解答】解：如图，点B绕点D旋转90°到达点B′或B″，
点B′的坐标为（4，0），B″（﹣2，2）．
故答案为：（4，0）或（﹣2，2）．
三、解答题（17题每题4分，18题6分，19题8分，共22分）
17．（8分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵3（x﹣3）＝5x（x﹣3），
∴3（x﹣3）﹣5x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（3﹣5x）＝0，
∴x﹣3＝0或3﹣5x＝0，
解得x1＝3，x2＝；
（2）整理成一般式，得：x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2．
18．（6分）先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m的值，把m的值代入计算，得到答案．
【解答】解：÷（m+3+）
＝÷
＝•
＝．
解方程x2﹣2x﹣1＝0得，x1＝+1，x2＝﹣+1，
所以m（m﹣2）＝（+1）（+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．
或m（m﹣2）＝（﹣+1）（﹣+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．
所以原式＝．
19．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
四、（20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6．∠B＝∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝10，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝2，
设点A到DE的距离为h，
则×AD•CD＝DE•h，
∴h＝＝3．
答：点A到DE的距离为3．
21．（8分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝2，和m＝n＝3两种情况），m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率大．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．
（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；
（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．
【分析】（1）由菱形的性质：DC∥AE，BC∥AD，进而证明：△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，△DFC∽△BCE；
（2）由（1）可知：△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF的长，进而求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AE，BC∥AD，
∴△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，
∴△DFC∽△BCE
故：△DFC∽△AFE，△BCE∽△AFE，△DFC∽△BCE；
（2）∵△DFC∽△AFE；
∴，
∵BE＝2AB，AB＝3，
∴BE＝6，AE＝9，
∴，
∴DF＝，
∴AF＝AD+DF＝3+＝．
七、（本题12分）
24．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 (100+200x) 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝(100+200x)（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
【分析】（1）连接PC，由正方形的性质得到AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA＝PC，∠PCB＝∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC＝∠PCF，于是得到PF＝PC，故此可证明PF＝PA．
（2）连接AC交BD于点O，依据正方形的性质可知△AOB为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明△APO≌△PFQ，依据全等三角形的性质可得到PQ＝AO；
（3）过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，首先证明△PBN为等腰直角三角形于是得到PN+BN＝PB，由角平分线的性质可得到PM＝PN，然后再依据LH证明△PAM≌△PFN可得到FN＝AM，PM＝PN，于是将AB+BF＝可转化为BN+PN的长．
【解答】解：（1）证明：连接PC．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP．
在△APB和△CPB中，
，
∴△APB≌△CPB．
∴PA＝PC，∠PCB＝∠PAB．
∵∠ABF＝∠APF＝90°，
∴∠PAB+∠PFB＝180°．
∵∠PFC+∠PFB＝180°，
∴∠PFC＝∠PAB．
∴∠PFC＝∠PCF．
∴PF＝PC．
∴PF＝PA．
（2）PQ的长不变．
理由：连接AC交BD于点O，如图2．
∵PF⊥AE，
∴∠APO+∠FPQ＝90°．
∵FQ⊥BD，
∴∠PFQ+∠FPQ＝90°．
∴∠APO＝∠PFQ．
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOP＝∠PQF＝90°，AO＝a．
在△APO和△PFQ中，
，
∴△APO≌△PFQ．
∴PQ＝AO＝a．
（3）如图3所示：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PBN＝45°．
∵PN⊥BN，
∴BN＝PN＝BP．
∴BN+PN＝PB．
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM＝PN．
在△PAM和△PFN中，
，
∴△PAM≌△PFN．
∴AM＝FN．
∵∠MBN＝∠BNP＝∠BMP＝90°，
∴MB＝PN．
∴AB+BF＝AM+MB+BF＝FN+BF+PN＝BN+PN＝PB．
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