2021-2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
3．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
5．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（　　）

A．34° B．36° C．46° D．54°
7．（3分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．65°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）

A．18° B．20° C．24° D．28°
10．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
11．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
12．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）

A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．4π C． D．
14．（3分）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们往往要经历列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质．小明在探究函数y＝﹣的性质时，根据如表的列表，画出了该函数的图象并进行了观察发现．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
小明根据他的发现写出了以下三个命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 （　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　 　．

16．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　 　寸．

17．（3分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 　 　m．

18．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知∠A＝1rad，∠B＝60°，则∠A与∠B的大小关系是∠A　 　∠B．（填“＞”“＜”或“＝”）

19．（3分）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为　 　．

三、解答题（共63分）
20．（6分）已知▱ABCD的边长如图所示，求▱ABCD的周长．

21．（7分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
22．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．

23．（9分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

24．（9分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝　 　；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

26．（14分）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

2021-2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可．
【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
2．（3分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
3．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【分析】直接利用二次函数的平移规律，上加下减，即可得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位，得到：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5．
故选：D．
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
5．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故选：C．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（　　）

A．34° B．36° C．46° D．54°
【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠C＝∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠C的度数．
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°．
故选：B．

7．（3分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣3，mn＝﹣9，而m是方程的一个根，可得m2+3m﹣9＝0，即m2+3m＝9，那么m2+4m+n＝m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．65°
【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）

A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
11．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【分析】将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
12．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）

A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．4π C． D．
【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABH中，
AH＝＝＝，
∴AC＝2，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴S扇形CAE＝＝2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故选：A．

14．（3分）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们往往要经历列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质．小明在探究函数y＝﹣的性质时，根据如表的列表，画出了该函数的图象并进行了观察发现．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
小明根据他的发现写出了以下三个命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 （　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】利用解析式求出a，b的值，利用表格，一一判断即可．
【解答】解：由题意，a＝2，b＝﹣，

观察图象可知，x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2，﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
故①错误，②③正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　（7，4）　．

【分析】作A'C⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，进而求解．
【解答】解：作A'C⊥x轴于点C，

由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴点A'坐标为（7，4）．
故答案为：（7，4）．
16．（3分）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　26　寸．

【分析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：

∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
17．（3分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 　3　m．

【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
18．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知∠A＝1rad，∠B＝60°，则∠A与∠B的大小关系是∠A　∠　∠B．（填“＞”“＜”或“＝”）

【分析】根据新定义可判断此时圆心角所对的弦长小于圆的半径，由于圆心角所对的弦长等于圆的半径时，圆心角的度数为60°，从而可判断∠A与∠B的大小关系．
【解答】解：∵圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，
∴此时圆心角所对的弦长小于圆的半径，
∴此时圆心角的度数小于60°，
即∠A与∠B的大小关系是∠A＜∠B．
故答案为：＜．
19．（3分）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为　　．

【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：记AB与y轴的交点为F，

∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴OF＝1，
则右侧抛物线的顶点B坐标为（1，1），
将点B（1，1）代入y＝kx+得k+＝1，
解得k＝，
∴y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
解得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
则D（3，0），
设右侧抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
将点D（3，0）代入解析式得4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
三、解答题（共63分）
20．（6分）已知▱ABCD的边长如图所示，求▱ABCD的周长．

【分析】先根据平行四边形的性质建立方程求出x的值，从而求出平行四边形的边长就可以求出平行四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝x2﹣24，CD＝2x，
∴x2﹣24＝2x，
∴x1＝6，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）
∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（12+9）×2＝42．
21．（7分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；
（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
22．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．

【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；
（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；
（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；
（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【解答】解：如下图所示：

（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，
或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．
23．（9分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
24．（9分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝　x﹣2（x≥4）．　；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由表格数据判断y1与x成一次函数关系；
（2）根据公式：每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，求出利润y与x间的关系，利用二次函数的性质求出利润最大值和月销售量．
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠0），
∵x＝4时，y1＝0，x＝6时，y1＝1，
∴，
解得：，
∴y1＝x﹣2（x≥4）．
故答案为：y1＝x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y1＝x﹣2（x≥4），
∴y＝[22﹣（x﹣2）﹣16]x＝x2+8x＝（x﹣8）2+32，
∴x＝8时，ymax＝32，
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
25．（10分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；
（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．
【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
26．（14分）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（7，），根据题意即﹣×72+7b+4＞3+，再解出b的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．