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2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
2．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2﹣3x+1 D．y＝2x2﹣3x3
3．（3分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）
5．（3分）方程x2﹣3x＝0的根为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
7．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．55°
9．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
11．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．其中错误信息的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）抛物线y＝3（x﹣5）2+2的顶点坐标是 ．
14．（3分）若3是方程x2﹣x﹣b＝0的一个根，则b的值为 ．
15．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是 ．
16．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 ．
17．（3分）往水平放置的半径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝16cm，则水的最大深度为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹时签字笔描黑.在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）作出△A1B1C1，使它和△ABC关于y轴对称；
（2）作出△A2B2C2，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2；
（3）直接写出点A2，B2的坐标．
21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
24．（10分）2021端午节前夕，某商推出了肉粽和蜜枣粽两种精美礼盒，其中肉粽礼盒的单价为180元/盒，蜜枣粽礼盒的单价为120元/盒．
（1）5月份，销售了肉粽和枣粽礼盒共200盒，总额为26400元，问5月份销售了多少盒肉粽礼盒？
（2）6月份，商铺决定调整营销方案，将肉粽礼盒的单价在原有基础上下调m元，蜜枣粽礼盒的单价不变，这样肉粽礼盒的销量较5月份肉粽礼盒的销量涨了10m盒，蜜枣粽礼盒的销量较5月份蜜枣粽礼盒的销量减少了10m盒，且6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，设6月份的销售总额为w元，问当m为值时，总额最大，最大为多少元？
25．（10分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2﹣3x+1 D．y＝2x2﹣3x3
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，当a≠0时，是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝2x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝2x2﹣3x+1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝2x2﹣3x3不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意，B（0，1），D（0，﹣1），
∵将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，
∴旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，
∴旋转后点B的坐标为（0，﹣3），
故选：B．
5．（3分）方程x2﹣3x＝0的根为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
7．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．55°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝55°，
∴∠BDC＝∠CAB＝55°，
故选：D．
9．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
∴将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2．
故选：A．
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故选：C．
11．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据切线长定理直接求得PB＝PA＝3．
【解答】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．其中错误信息的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系；根据抛物线与x轴交点个数判断b2﹣4ac与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系；根据对称轴在x＝﹣1的左边判断2a﹣b与0的关系；把x＝1，y＝0代入y＝ax2+bx+c，可判断a+b+c＜0是否成立．
【解答】解：（1）∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故本信息正确；
（2）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0；
故本信息正确；
（3）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息错误；
（4）由图示，知对称轴x＝﹣＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息错误；
（5）根据图示可知，当x＝1，即y＝a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）抛物线y＝3（x﹣5）2+2的顶点坐标是 （5，2） ．
【分析】根据的抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣5）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（5，2），
故答案为：（5，2）．
14．（3分）若3是方程x2﹣x﹣b＝0的一个根，则b的值为 6 ．
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝3代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．
【解答】解：根据题意，得32﹣3﹣b＝0，
解得b＝6．
故答案是：6．
15．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是 5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500 ．
【分析】根据题意分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而相加得出等式即可．
【解答】解：根据题意可得：
7月25日的销量为：5000（1+x），
7月26日的销量为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故答案为：5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
16．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 90° ．
【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．
【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故答案为90°．
17．（3分）往水平放置的半径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝16cm，则水的最大深度为 4cm ．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝16cm，
∴BD＝AB＝8（cm），
由题意得：OB＝OC＝10cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝6（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（cm），
即水的最大深度为4cm，
故答案为：4cm．
18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 4.8≤EF≤10 ．
【分析】根据已知条件得到△ECF是直角三角形，推出点C在以EF为直径的圆上，设以EF为直径的圆的圆心为O，当⊙O与AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，求得EF＝CD＝＝4.8，当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，E，F分别在边AC，BC上，
∴△ECF是直角三角形，
∴点C在以EF为直径的圆上，
设以EF为直径的圆的圆心为O，
当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，
连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，
∴EF＝CD，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴EF＝CD＝＝4.8，
当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，
故EF长的取值范围为：4.8≤EF≤10．
故答案为：4.8≤EF≤10．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹时签字笔描黑.在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3＝0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0
∴（x+3）（x﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣3．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）作出△A1B1C1，使它和△ABC关于y轴对称；
（2）作出△A2B2C2，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2；
（3）直接写出点A2，B2的坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）A2（﹣1，﹣3），B2（﹣4，﹣5）．
21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
【分析】（1）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，
∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，
∴CD＝2CH＝．
故答案为：．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据“如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮感染中平均一个人感染的人数；
（2）利用经过三轮感染后被感染的人数＝经过两轮感染后被感染的人数×（1+每轮感染中平均一个人感染的人数），即可求出经过三轮感染后被感染的人数，再将其与1300比较后可得出：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
整理得：（x+1）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染10个人．
（2）121×（1+10）＝1331（人），
∵1331＞1300，
∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF＝．
24．（10分）2021端午节前夕，某商推出了肉粽和蜜枣粽两种精美礼盒，其中肉粽礼盒的单价为180元/盒，蜜枣粽礼盒的单价为120元/盒．
（1）5月份，销售了肉粽和枣粽礼盒共200盒，总额为26400元，问5月份销售了多少盒肉粽礼盒？
（2）6月份，商铺决定调整营销方案，将肉粽礼盒的单价在原有基础上下调m元，蜜枣粽礼盒的单价不变，这样肉粽礼盒的销量较5月份肉粽礼盒的销量涨了10m盒，蜜枣粽礼盒的销量较5月份蜜枣粽礼盒的销量减少了10m盒，且6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，设6月份的销售总额为w元，问当m为值时，总额最大，最大为多少元？
【分析】（1）设5月份销售了x盒肉粽礼盒，则销售了（200﹣x）盒蜜枣粽礼盒，由题意列出方程，求解即可；
（2）根据题意列出w关于m的函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设5月份销售了x盒肉粽礼盒，则销售了（200﹣x）盒蜜枣粽礼盒，
由题意，得：180x+120（200﹣x）＝26400，
解得：x＝40，
答：5月份销售了40盒肉粽礼盒，则销售了160盒蜜枣粽礼盒；
（2）∵6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，
∴40+10m≤160﹣10m．
解得：m≤6，
由题意，得：
w＝（180﹣m）（40+10m）+120（160﹣10m）
＝﹣10m2+560m+26400
＝﹣10（m﹣28）2+34240，
∵﹣10＜0，
∴当m≤6时，w随m的增大而增大，
∴m＝6时，w有最大值，最大值为29400元．
25．（10分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形及圆性质求出OD∥AB，再由DF⊥AB，推出求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）由∠A＝60o，OD⊥DF，AF＝1可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AD2﹣AF2＝3，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF＝，
∴线段OF的长为．
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【分析】（1）把A点代入抛物线，再由对称轴公式可得解析式．
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，得AE＝CE，设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，把点C代入抛物线得C的坐标．
（3）有对称可得D的坐标，即可求出CD＝8，设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|+7，当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，分情况讨论，①当1≤a＜2时，1≤xp＜2，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝48+16a﹣4a2，
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp≤a内，|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝64，
【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，
xc+1＝﹣4xc﹣5，
解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
2．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2﹣3x+1 D．y＝2x2﹣3x3
3．（3分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）
5．（3分）方程x2﹣3x＝0的根为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
7．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．55°
9．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
11．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．其中错误信息的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）抛物线y＝3（x﹣5）2+2的顶点坐标是 ．
14．（3分）若3是方程x2﹣x﹣b＝0的一个根，则b的值为 ．
15．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是 ．
16．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 ．
17．（3分）往水平放置的半径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝16cm，则水的最大深度为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹时签字笔描黑.在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）作出△A1B1C1，使它和△ABC关于y轴对称；
（2）作出△A2B2C2，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2；
（3）直接写出点A2，B2的坐标．
21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
24．（10分）2021端午节前夕，某商推出了肉粽和蜜枣粽两种精美礼盒，其中肉粽礼盒的单价为180元/盒，蜜枣粽礼盒的单价为120元/盒．
（1）5月份，销售了肉粽和枣粽礼盒共200盒，总额为26400元，问5月份销售了多少盒肉粽礼盒？
（2）6月份，商铺决定调整营销方案，将肉粽礼盒的单价在原有基础上下调m元，蜜枣粽礼盒的单价不变，这样肉粽礼盒的销量较5月份肉粽礼盒的销量涨了10m盒，蜜枣粽礼盒的销量较5月份蜜枣粽礼盒的销量减少了10m盒，且6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，设6月份的销售总额为w元，问当m为值时，总额最大，最大为多少元？
25．（10分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
2021-2022学年广西柳州市柳江区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x﹣﹣2＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2﹣3x+1 D．y＝2x2﹣3x3
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，当a≠0时，是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝2x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝2x2﹣3x+1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝2x2﹣3x3不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意，B（0，1），D（0，﹣1），
∵将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，
∴旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，
∴旋转后点B的坐标为（0，﹣3），
故选：B．
5．（3分）方程x2﹣3x＝0的根为（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
7．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．55°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝55°，
∴∠BDC＝∠CAB＝55°，
故选：D．
9．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
∴将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2．
故选：A．
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故选：C．
11．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据切线长定理直接求得PB＝PA＝3．
【解答】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．其中错误信息的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系；根据抛物线与x轴交点个数判断b2﹣4ac与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系；根据对称轴在x＝﹣1的左边判断2a﹣b与0的关系；把x＝1，y＝0代入y＝ax2+bx+c，可判断a+b+c＜0是否成立．
【解答】解：（1）∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故本信息正确；
（2）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0；
故本信息正确；
（3）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息错误；
（4）由图示，知对称轴x＝﹣＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息错误；
（5）根据图示可知，当x＝1，即y＝a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）抛物线y＝3（x﹣5）2+2的顶点坐标是 （5，2） ．
【分析】根据的抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣5）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（5，2），
故答案为：（5，2）．
14．（3分）若3是方程x2﹣x﹣b＝0的一个根，则b的值为 6 ．
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝3代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．
【解答】解：根据题意，得32﹣3﹣b＝0，
解得b＝6．
故答案是：6．
15．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是 5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500 ．
【分析】根据题意分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而相加得出等式即可．
【解答】解：根据题意可得：
7月25日的销量为：5000（1+x），
7月26日的销量为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故答案为：5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
16．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 90° ．
【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．
【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故答案为90°．
17．（3分）往水平放置的半径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝16cm，则水的最大深度为 4cm ．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝16cm，
∴BD＝AB＝8（cm），
由题意得：OB＝OC＝10cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝6（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（cm），
即水的最大深度为4cm，
故答案为：4cm．
18．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 4.8≤EF≤10 ．
【分析】根据已知条件得到△ECF是直角三角形，推出点C在以EF为直径的圆上，设以EF为直径的圆的圆心为O，当⊙O与AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，求得EF＝CD＝＝4.8，当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，E，F分别在边AC，BC上，
∴△ECF是直角三角形，
∴点C在以EF为直径的圆上，
设以EF为直径的圆的圆心为O，
当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，
连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，
∴EF＝CD，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴EF＝CD＝＝4.8，
当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，
故EF长的取值范围为：4.8≤EF≤10．
故答案为：4.8≤EF≤10．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹时签字笔描黑.在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3＝0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0
∴（x+3）（x﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣3．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）作出△A1B1C1，使它和△ABC关于y轴对称；
（2）作出△A2B2C2，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2；
（3）直接写出点A2，B2的坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）A2（﹣1，﹣3），B2（﹣4，﹣5）．
21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
【分析】（1）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，
∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，
∴CD＝2CH＝．
故答案为：．
22．（8分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据“如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮感染中平均一个人感染的人数；
（2）利用经过三轮感染后被感染的人数＝经过两轮感染后被感染的人数×（1+每轮感染中平均一个人感染的人数），即可求出经过三轮感染后被感染的人数，再将其与1300比较后可得出：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
整理得：（x+1）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染10个人．
（2）121×（1+10）＝1331（人），
∵1331＞1300，
∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF＝．
24．（10分）2021端午节前夕，某商推出了肉粽和蜜枣粽两种精美礼盒，其中肉粽礼盒的单价为180元/盒，蜜枣粽礼盒的单价为120元/盒．
（1）5月份，销售了肉粽和枣粽礼盒共200盒，总额为26400元，问5月份销售了多少盒肉粽礼盒？
（2）6月份，商铺决定调整营销方案，将肉粽礼盒的单价在原有基础上下调m元，蜜枣粽礼盒的单价不变，这样肉粽礼盒的销量较5月份肉粽礼盒的销量涨了10m盒，蜜枣粽礼盒的销量较5月份蜜枣粽礼盒的销量减少了10m盒，且6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，设6月份的销售总额为w元，问当m为值时，总额最大，最大为多少元？
【分析】（1）设5月份销售了x盒肉粽礼盒，则销售了（200﹣x）盒蜜枣粽礼盒，由题意列出方程，求解即可；
（2）根据题意列出w关于m的函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设5月份销售了x盒肉粽礼盒，则销售了（200﹣x）盒蜜枣粽礼盒，
由题意，得：180x+120（200﹣x）＝26400，
解得：x＝40，
答：5月份销售了40盒肉粽礼盒，则销售了160盒蜜枣粽礼盒；
（2）∵6月份肉粽礼盒的销量不超过6月份蜜枣粽礼盒的销量，
∴40+10m≤160﹣10m．
解得：m≤6，
由题意，得：
w＝（180﹣m）（40+10m）+120（160﹣10m）
＝﹣10m2+560m+26400
＝﹣10（m﹣28）2+34240，
∵﹣10＜0，
∴当m≤6时，w随m的增大而增大，
∴m＝6时，w有最大值，最大值为29400元．
25．（10分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形及圆性质求出OD∥AB，再由DF⊥AB，推出求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）由∠A＝60o，OD⊥DF，AF＝1可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AD2﹣AF2＝3，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF＝，
∴线段OF的长为．
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【分析】（1）把A点代入抛物线，再由对称轴公式可得解析式．
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，得AE＝CE，设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，把点C代入抛物线得C的坐标．
（3）有对称可得D的坐标，即可求出CD＝8，设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|+7，当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，分情况讨论，①当1≤a＜2时，1≤xp＜2，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝48+16a﹣4a2，
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp≤a内，|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝64，
【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，
xc+1＝﹣4xc﹣5，
解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
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